S razlomcima u životu nailazimo mnogo ranije nego što ih počnemo proučavati u školi. Ako cijelu jabuku prepolovimo, dobijemo ½ ploda. Isjecimo ga ponovo - bit će ¼. Ovo su razlomci. I sve je izgledalo jednostavno. Za odraslu osobu. Za dijete (a ova tema počinje da se proučava na kraju junior school) apstraktni matematički pojmovi su i dalje zastrašujuće neshvatljivi, a nastavnik mora jasno objasniti šta su pravi, a šta nepravilni razlomak, običan i decimalni, koje se operacije s njima mogu izvoditi i, što je najvažnije, za šta je sve to potrebno.
Šta su razlomci?
Upoznavanje nova tema u školi počinje običnim razlomcima. Lako se prepoznaju po horizontalnoj liniji koja razdvaja dva broja - iznad i ispod. Gornji se zove brojilac, a donji imenilac. Postoji i opcija malim slovima za pisanje nepravilnih i pravilnih običnih razlomaka - kroz kosu crtu, na primjer: ½, 4/9, 384/183. Ova opcija se koristi kada je visina linije ograničena i nije moguće koristiti obrazac za unos na dva sprata. Zašto? Da, jer je to praktičnije. Videćemo ovo malo kasnije.
Osim običnih razlomaka, postoje i decimalni razlomci. Vrlo ih je jednostavno razlikovati: ako se u jednom slučaju koristi horizontalna ili kosa crta, onda se u drugom koristi zarez za razdvajanje nizova brojeva. Pogledajmo primjer: 2.9; 163.34; 1.953. Namjerno smo koristili tačku i zarez kao separator da razgraničimo brojeve. Prvi od njih će glasiti ovako: "dva tačka devet".
Novi koncepti
Vratimo se običnim razlomcima. Dolaze u dvije vrste.
Definicija pravilnog razlomka je sljedeća: to je razlomak čiji je brojnik manji od nazivnika. Zašto je ovo važno? Sad ćemo vidjeti!
Imate nekoliko jabuka, prepolovljenih. Ukupno - 5 delova. Kako biste rekli: imate li “dvije i po” ili “pet i po” jabuka? Naravno, prva opcija zvuči prirodnije i koristićemo je kada razgovaramo sa prijateljima. Ali ako treba da izračunamo koliko će voća dobiti svaka osoba, ako je u kompaniji pet ljudi, zapisaćemo broj 5/2 i podeliti ga sa 5 - sa matematičke tačke gledišta, ovo će biti jasnije .
Dakle, za imenovanje pravih i nepravih razlomaka pravilo je sljedeće: ako se cijeli dio može razlikovati u razlomku (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), onda je nepravilan. Ako se to ne može učiniti, kao u slučaju ½, 13/16, 9/10, bit će ispravno.
Glavno svojstvo razlomka
Ako se brojnik i imenilac razlomka istovremeno pomnože ili podijele istim brojem, njegova vrijednost se ne mijenja. Zamislite: isjekli su tortu na 4 jednaka dijela i dali vam jedan. Istu tortu su isjekli na osam komada i dali vam dva. Da li je to zaista važno? Na kraju krajeva, ¼ i 2/8 su ista stvar!
Redukcija
Autori zadataka i primjera u udžbenicima matematike često nastoje zbuniti učenike nudeći razlomke koje je glomazno napisati, ali se zapravo mogu skratiti. Evo primjera pravilnog razlomka: 167/334, koji, čini se, izgleda vrlo "strašno". Ali zapravo to možemo napisati kao ½. Broj 334 je djeljiv sa 167 bez ostatka - nakon izvođenja ove operacije dobijamo 2.
Mješoviti brojevi
Nepravilan razlomak se može predstaviti kao mješoviti broj. To je kada se cijeli dio pomakne naprijed i napiše na nivou vodoravne linije. U stvari, izraz ima oblik zbira: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 i tako dalje.
Da biste izvadili cijeli dio, trebate podijeliti brojilac sa nazivnikom. Ostatak podjele napišite na vrhu, iznad linije, a cijeli dio - prije izraza. Tako dobijamo dva strukturna dijela: cijele jedinice + pravi razlomak.
Također možete izvršiti inverznu operaciju - da biste to učinili, trebate pomnožiti cijeli broj sa nazivnikom i dodati rezultirajuću vrijednost brojniku. Ništa komplikovano.
Množenje i dijeljenje
Čudno je da je množenje razlomaka lakše nego zbrajanje. Sve što je potrebno je produžiti horizontalnu liniju: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
Kod dijeljenja je sve također jednostavno: trebate pomnožiti razlomke unakrsno: (7/8) / (14/15) = 7 * 15 / 8 * 14 = 15/16.
Zbrajanje razlomaka
Što učiniti ako trebate izvršiti sabiranje ili imaju različite brojeve u nazivniku? Neće raditi isto kao s množenjem - ovdje biste trebali razumjeti definiciju pravog razlomka i njegovu suštinu. Potrebno je dovesti članove u zajednički imenilac, odnosno donji dio oba razlomka mora imati iste brojeve.
Da biste to učinili, trebali biste koristiti osnovno svojstvo razlomka: pomnožite oba dijela istim brojem. Na primjer, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Kako odabrati na koji nazivnik sveti članove? Ovo mora biti minimalni broj koji je višekratnik oba broja u nazivnicima razlomaka: za 1/3 i 1/9 to će biti 9; za ½ i 1/7 - 14, jer nema manje vrijednosti djeljive sa 2 i 7 bez ostatka.
Upotreba
Za šta se koriste nepravilni razlomci? Na kraju krajeva, mnogo je zgodnije odmah odabrati cijeli dio, dobiti mješoviti broj - i završiti s tim! Ispada da ako trebate pomnožiti ili podijeliti dva razlomka, isplativije je koristiti nepravilne.
Uzmimo sljedeći primjer: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Čini se da se uopšte nema šta rezati. Ali šta ako rezultat sabiranja zapišemo u prve zagrade kao nepravilan razlomak? Pogledajte: (37/17) / (37/68)
Sada sve dolazi na svoje mjesto! Napišimo primjer na način da sve postane očigledno: (37*68) / (17*37).
Poništimo 37 u brojniku i nazivniku i konačno podijelimo gornji i donji dio sa 17. Sjećate li se osnovnog pravila za prave i nepravilne razlomke? Možemo ih množiti i dijeliti bilo kojim brojem sve dok to radimo za brojnik i nazivnik u isto vrijeme.
Dakle, dobijamo odgovor: 4. Primer je izgledao komplikovano, ali odgovor sadrži samo jedan broj. Ovo se često dešava u matematici. Glavna stvar je ne plašiti se i slijediti jednostavna pravila.
Uobičajene greške
Prilikom implementacije, učenik može lako napraviti jednu od uobičajenih grešaka. Obično se javljaju zbog nepažnje, a ponekad i zbog činjenice da proučavani materijal još nije pravilno pohranjen u glavi.
Često zbir brojeva u brojiocu izaziva želju da smanjite njegove pojedinačne komponente. Recimo u primjeru: (13 + 2) / 13, napisano bez zagrada (sa vodoravnom crtom), mnogi učenici zbog neiskustva precrtavaju 13 iznad i ispod. Ali to ne bi trebalo raditi ni pod kojim okolnostima, jer je to velika greška! Kada bi umjesto sabiranja postojao znak množenja, u odgovoru bismo dobili broj 2. Ali prilikom sabiranja nisu dozvoljene operacije s jednim od članova, samo s cijelim zbirom.
Momci također često griješe kada dijele razlomke. Uzmimo dva ispravna nesvodljiva razlomka i podijelimo ih jedan s drugim: (5/6) / (25/33). Učenik ga može pomiješati i zapisati rezultirajući izraz kao (5*25) / (6*33). Ali to bi se dogodilo s množenjem, ali u našem slučaju sve će biti nešto drugačije: (5*33) / (6*25). Smanjujemo ono što je moguće, a odgovor će biti 11/10. Dobijeni nepravilni razlomak zapisujemo kao decimalu - 1,1.
Zagrade
Zapamtite da je u bilo kojem matematičkom izrazu redoslijed operacija određen prioritetom znakova operacije i prisustvom zagrada. Pod svim ostalim jednakim uvjetima, redoslijed radnji se računa s lijeva na desno. To vrijedi i za razlomke - izraz u brojniku ili nazivniku se izračunava striktno prema ovom pravilu.
Na kraju krajeva, ovo je rezultat dijeljenja jednog broja drugim. Ako nisu ravnomjerno podijeljeni, postaje razlomak - to je sve.
Kako napisati razlomak na kompjuteru
Budući da standardni alati ne dozvoljavaju uvijek stvaranje razlomka koji se sastoji od dva „sloja“, učenici ponekad pribjegavaju raznim trikovima. Na primjer, oni kopiraju brojnike i nazivnike u grafički uređivač Paint i lijepe ih zajedno, crtajući horizontalnu liniju između njih. Naravno, postoji i jednostavnija opcija, koja, usput, pruža puno dodatnih funkcija koje će vam biti korisne u budućnosti.
Otvorite Microsoft Word. Jedan od panela na vrhu ekrana se zove „Insert“ - kliknite na njega. Sa desne strane, sa strane na kojoj se nalaze ikone za zatvaranje i minimiziranje prozora, nalazi se dugme „Formula“. Ovo je upravo ono što nam treba!
Ako koristite ovu funkciju, na ekranu će se pojaviti pravokutna oblast u kojoj možete koristiti bilo koju matematičkih znakova, koji nedostaje na tastaturi, a također pisati razlomke u klasičnom obliku. To jest, dijeljenje brojnika i nazivnika vodoravnom linijom. Možda ćete se čak i iznenaditi da je takav pravi razlomak tako lako napisati.
Naučite matematiku
Ako ste u razredu 5-6, tada će uskoro biti potrebno znanje matematike (uključujući sposobnost rada sa razlomcima!) u mnogim školskim predmetima. U gotovo svakom problemu iz fizike, pri mjerenju mase tvari u hemiji, u geometriji i trigonometriji, ne možete bez razlomaka. Uskoro ćete naučiti sve izračunati u svojoj glavi, a da čak i ne zapisujete izraze na papir, ali će se pojavljivati sve složeniji primjeri. Zato naučite šta je pravi razlomak i kako s njim raditi, držite korak sa svojim nastavnim planom i programom, uradite domaći na vrijeme i uspjet ćete.
LEKCIJA br. 86 PRAVI I NEPRAVILNI RAZLOMCI (str. 25)
17.08.2014 3391 0Ciljevi:naučiti kako prepoznati prave i nepravilne razlomke i uporediti ih s jednim.
Oprema:signalne kartice za svakog učenika; plakat za govorne vježbe i sumiranje lekcije.
Napredak lekcije
I. Oralne vježbe.
1. br. 883 (a, b).
2. Koliko minuta ima jedan sat? Koji dio sata je 1 minuta? 7 min; 15 min.
3. Dovršite radnje (poster).
2. Nastavnik poziva učenike da vide šta je „posebno“ kod razlomaka; dovodi učenike do ideje da je u prvom razlomku brojilac manji od nazivnika, a u drugom i trećem razlomku brojilac jednak i veći od nazivnika.
3. Daje se definicija pravih i nepravih razlomaka.
4. Uporedite razlomke sa jedinicom.
III. Konsolidacija.
1. Rad sa signalnim karticama.
Ako je tvrdnja tačna, učenici pokazuju zeleni karton;
2. № 976, 975, 973.
3. Nezavisno br. 995, 997 (a).
IV. Sažetak lekcije.
1. Odgovorite na pitanja:
a) Koji se razlomak naziva pravi, a koji nepravilan?
b) Može li pravi razlomak biti veći od 1?
c) Da li je nepravilan razlomak uvijek veći od 1?
2. “Hajde, shvati to!”
Na slici su prikazane dvije grupe linija. Kako se linije jedne grupe razlikuju od linija druge?
odgovor:prave prve grupe se samosijeku, a prave druge grupe su bez tačaka samopresecanja.
V. Domaći zadatak: stav 25; br. 999, 1001, 820 (c, d), ponoviti paragrafe 13, 14. U matematičkom rječniku: pravilan razlomak I nepravilan razlomak.
Dijele se na ispravne i netačne.
Pravilni razlomci
Pravilan razlomak je običan razlomak u kojem je brojilac manji od nazivnika.
Da biste saznali da li je razlomak tačan, morate međusobno uporediti njegove članove. Razlomci se porede u skladu sa pravilom za poređenje prirodnih brojeva.
Primjer. Uzmite u obzir razlomak:
| 7 |
| 8 |
primjer:
| 8 | = 1 | 1 |
| 7 | 7 |
Pravila prevođenja i dodatni primjeri mogu se naći u temi Pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj. Također možete koristiti online kalkulator da pretvorite nepravilan razlomak u mješoviti broj.
Poređenje pravih i nepravilnih razlomaka
Svaki nepravilan obični razlomak je veći od pravilnog razlomaka, jer je pravi razlomak uvijek manji od jedan, a nepravilan razlomak je veći ili jednak jedan.
primjer:
| 3 | > | 99 |
| 2 | 100 |
Pravila poređenja i dodatne primjere možete pronaći u temi Poređenje običnih razlomaka. Također, možete koristiti za upoređivanje razlomaka ili provjeru poređenja
Pita je isečena na 8 jednakih delova (Sl. 122, a) i 3 dela su stavljena na tanjir.
Na njemu je bila pita (sl. 122, b). Ako stavite svih 8 dijelova, na tanjiru će biti pita, odnosno cijela pita (Sl. 122, c).
Rice. 122
Dakle = 1.
Uzmimo još jednu sličnu pitu i iseći je na 8 jednakih delova (Sl. 123, a). Ako stavite, na primjer, 11 komada na tanjir, tada će biti pita (Sl. 123, b).
Rice. 123
U razlomku je brojilac manji od nazivnika. Takvi razlomci se nazivaju pravi. U razlomku je brojilac jednak nazivniku, a u razlomku je brojilac veći od nazivnika. Takvi razlomci se nazivaju nepravilnim.
Rice. 124
na primjer,< 1, = 1, > 1.
Pitanja za samotestiranje
- Koji se razlomak naziva pravim?
- Koji se razlomak naziva nepravilnim?
- Može li pravi razlomak biti veći od 1?
- Da li je nepravilan razlomak uvijek veći od 1?
- Koji je razlomak veći ako je jedan pravilan, a drugi nepravilan?
Radite vežbe
974. Dužina segmenta AB je 8 cm. Nacrtaj segment čija je dužina jednaka:
975. Označite tačke na zraku sa koordinatama:
Uzmite dužinu od 12 ćelija bilježnice kao jedan segment.
976. napišite:
- a) svi pravi razlomci sa nazivnikom 6;
- b) svi nepravilni razlomci sa brojiocem 5.
977. Na kojim vrijednostima je razlomak:
978. Mašina može iskopati jarak dužine 1 m za 6 minuta. Koliko dugo mašina može iskopati rov za 1 minut; 5 min; 7 min; 11 min?
979. Jedan kilogram boje može pokriti 5 m2 površine. Koliko boje će biti potrebno za farbanje 3 m2; 6 m2; 13 m2 površine?
980. Građevinski tim je sagradio farmu za 48 dana. Prema planu, ovo vrijeme je bilo potrebno. Koliko je dana bilo predviđeno za izgradnju farme prema planu?
981. Za 3 sata okretač se okrenuo strug 135 dijelova, koji ispunjavaju dnevne potrebe. Koliko je dijelova trebao okrenuti u radnom danu (8 sati) prema normi? Koliko će delova proizvesti u jednom radnom danu ako radi sa istom produktivnošću?
982. Tokar je okrenuo 135 dijelova na strugu, ispunjavajući dnevnu kvotu. Koje su njegove dnevne potrebe?
983. Koncert mladih muzičara je ovoga puta trajao umjesto planiranih 3 sata, pošto je publika tražila da ponovi neke od svojih omiljenih nastupa. Koliko je trajao koncert? Koliko minuta je trajao bis?
984. Izračunaj usmeno:
985. Koliko minuta u satu? Koji dio sata je 1 minuta? 7 min; 15 min?
986. Koliko je puta kvintala veća od kilograma? Koliki dio stotke je kilogram? Koliko je kilograma veće od kilograma?
987. Koliko minuta
988. Dodajte brojeve 40 i brojeve 60. Od broja 72 oduzmite brojeve 81.
989. Polovica broja je 18. Pronađite ovaj broj. Trećina broja je 27. Pronađite ovaj broj. Tri četvrtine broja je 60. Pronađite ovaj broj.
990. Koji dio četverougla ABCD (sl. 125) je zasjenjen? Koji dio je ostao neobojen?
Rice. 125
991. Izraziti u gramima:
- a) 3 kg 400 g;
- b) 2 kg 30 g;
- c) 15 kg.
992. Rasporedite razlomke uzlaznim redoslijedom:
Rasporedite iste razlomke u opadajućem redosledu.
993. Navedite četiri razlomka koji su manji od
994. Navedite 5 razlomaka koji su veći od .
995. Nacrtajte kvadrat sa stranicom od 4 cm. Pokažite na crtežu: kvadrat, kvadrat. Pronađite površine ovih dijelova kvadrata i objasnite rezultat.
996. Prvog dana ekipa je sakupila 5 tona od 400 kg krompira, a drugog - 1 tonu 200 kg manje nego prvog. Trećeg dana tim je sakupio 2 puta više krompira nego drugog. Koliko je krompira brigada sakupila za ova tri dana?
997. Napravite problem koristeći jednadžbu:
- a) (y+ 6) - 2 = 15;
- b) 2(a - 5) = 24;
- c) 3(25 + b) + 15 = 135.
998. U prvom vagonu je bio jedan, a u drugom b ljudi. Na stajalištu je iz prvog auta izašla jedna osoba, a iz drugog je izašlo d ljudi. Šta znače sledeći izrazi:
- a + b;
- a - c;
- c + d;
- b - d;
- (a + b) - (c + d);
- (a - c) + (b - d)?
Objasni zašto
(a + b) - (c + d) = (a - c) + (b - d)
za a > c, b > d.
Provjerite ovu jednakost sa a = 45, b = 39, c = 14, d = 12.
Koristeći rezultirajuću jednakost, izračunajte vrijednost izraza:
- a) (548 + 897) - (148 + 227);
- b) (391 + 199) - (181 + 79).
999. Smislite pet razlomaka čiji je brojilac za 3 manji od nazivnika. Zapišite pet razlomaka čiji je brojilac 3 puta veći od imenioca.
1000. Pri kojim vrijednostima x će razlomak biti nepravilan?
1001. Poljoprivrednik je planirao da sa njive prikupi 12 tona povrća, ali je sakupio ovoliku količinu. Koliko je tona povrća poljoprivrednik ubrao?
1002. Turista je prvog dana prepješačio 18 km, što je udaljenost koju mora preći drugog dana. Koliko bi kilometara turista trebao prijeći za ova dva dana?
1003. Iz Sankt Peterburga je krenuo teretni voz za Moskvu brzinom od 48 km/h, a sat vremena nakon toga iz Moskve je krenuo brzi voz za Sankt Peterburg brzinom od 82 km/h. Pronađite udaljenost između vozova:
- a) 1 sat nakon polaska brzog voza;
- b) 3 sata nakon polaska teretnog voza;
- c) 5 sati nakon polaska brzog voza.
Udaljenost od Moskve do Sankt Peterburga je 650 km.
1004. Pronađite značenje izraza:
- a) 8060 -45 - 45 150: 75 105;
- b) (2 254 175 + 94 447) : 414 - 1329;
- c) (123 - 93) : (12 - 9);
- d) (62 + Z2)2.
Razlomak u matematici, broj koji se sastoji od jednog ili više dijelova (razlomaka) jedinice. Razlomci su dio polja racionalnih brojeva. Na osnovu načina na koji su napisani, razlomci se dijele u 2 formata: običan tip i decimalni .
Brojač razlomaka- broj koji pokazuje broj preuzetih dionica (nalazi se na vrhu razlomka - iznad linije). Imenilac razlomka- broj koji pokazuje na koliko dionica je jedinica podijeljena (nalazi se ispod linije - na dnu). , pak, dijele se na: ispravan I netačno, mješovito I kompozit usko su povezane sa mjernim jedinicama. 1 metar sadrži 100 cm što znači da je 1 m podijeljen na 100 jednakih dijelova. Dakle, 1 cm = 1/100 m (jedan centimetar je jednak stotom dijelu metra).
ili 3/5 (tri petine), ovdje je 3 brojilac, 5 je imenilac. Ako je brojilac manji od nazivnika, tada je razlomak manji od jedan i naziva se ispravan:
Ako je brojnik jednak nazivniku, razlomak je jednak jedan. Ako je brojilac veći od nazivnika, razlomak je veći od jedan. U oba posljednja slučaja naziva se razlomak pogrešno:
Da biste izdvojili najveći cijeli broj koji se nalazi u nepravilnom razlomku, podijelite brojilac sa nazivnikom. Ako se dijeljenje izvrši bez ostatka, tada je uzet nepravilan razlomak jednak količniku:
Ako se dijeljenje vrši s ostatkom, tada (nepotpuni) količnik daje željeni cijeli broj, a ostatak postaje brojnik razlomka; imenilac razlomka ostaje isti.
Poziva se broj koji sadrži cijeli broj i razlomak mješovito. Frakcijski dio mješoviti broj mozda nepravilan razlomak. Tada možete odabrati najveći cijeli broj iz razlomka i predstaviti mješoviti broj na takav način da razlomak postane pravi razlomak (ili potpuno nestane).
