Minus bilan harakatlar. Nega minus marta minus ortiqcha beradi?

Ko'paytirishni to'g'ri tushunamizmi?

"- A va B quvurda o'tirishdi. A yiqildi, B g'oyib bo'ldi, quvurda nima qoldi?
"Sizning xatingiz menda qoladi."

("Koinotdagi yoshlar" filmidan)

Nima uchun raqamni nolga ko'paytirish nolga olib keladi?

7 * 0 = 0

Nima uchun ikkita manfiy sonni ko'paytirish ijobiy sonni keltirib chiqaradi?

7 * (-3) = + 21

O'qituvchilar bu ikki savolga javob berish uchun qo'llaridan kelganini qiladilar.

Ammo ko'paytirishni shakllantirishda uchta semantik xato borligini tan olishga hech kimning jur'ati yo'q!

Asosiy arifmetikada xato qilish mumkinmi? Axir, matematika o'zini aniq fan sifatida ko'rsatadi ...

Maktab matematika darsliklarida bu savollarga javob berilmagan, tushuntirishlarni yodlash kerak bo'lgan qoidalar to'plami bilan almashtiradi. Balki o'rta maktabda bu mavzuni tushuntirish qiyin deb hisoblanarmi? Keling, ushbu masalalarni tushunishga harakat qilaylik.

7 - ko'paytma. 3 - ko'paytiruvchi. 21 - ish.

Rasmiy bayonotga ko'ra:

sonni boshqa raqamga ko'paytirish ko'paytiruvchi belgilagan ko'p sonlarni qo'shishni anglatadi.

Qabul qilingan formulaga ko'ra, 3 omil bizga tenglikning o'ng tomonida uchta yettilik bo'lishi kerakligini aytadi.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Ammo ko'paytirishning bu formulasi yuqorida qo'yilgan savollarni tushuntirib bera olmaydi.

Keling, ko'paytirish so'zlarini to'g'rilaymiz

Odatda matematikada ko'p narsa nazarda tutiladi, lekin u haqida gapirilmaydi yoki yozilmaydi.

Bu tenglamaning o'ng tomonidagi birinchi ettitadan oldingi ortiqcha belgisiga ishora qiladi. Keling, ushbu ortiqcha narsani yozamiz.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Ammo birinchi ettita nimaga qo'shiladi? Bu, albatta, nolga teng degani. Keling, nolni yozamiz.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Agar biz uch minus ettiga ko'paytirsak nima bo'ladi?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Biz ko'paytma -7 ning qo'shilishini yozamiz, lekin aslida biz noldan bir necha marta ayiramiz. Qavslarni ochamiz.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Endi biz ko'paytirishning aniq formulasini berishimiz mumkin.

Ko'paytirish - bu ko'paytma (-7) ga ko'paytiruvchi ko'rsatgan darajada ko'p marta qo'shish (yoki noldan ayirish) jarayonidir. Ko'paytiruvchi (3) va uning belgisi (+ yoki -) nolga qo'shiladigan yoki nolga ayiriladigan amallar sonini ko'rsatadi.

Ko'paytirishning bu aniqlangan va biroz o'zgartirilgan formulasidan foydalanib, ko'paytma salbiy bo'lganda ko'paytirishning "belgi qoidalari" osongina tushuntiriladi.

7 * (-3) - noldan keyin uchta minus belgisi bo'lishi kerak = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - yana = noldan keyin uchta minus belgisi bo'lishi kerak

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Nolga ko'paytiring

7 * 0 = 0 + ... nol operatsiyalarga qo'shilmaydi.

Agar ko'paytirish nolga qo'shilish bo'lsa va ko'paytma nolga qo'shish amallari sonini ko'rsatsa, u holda ko'paytma nol nolga hech narsa qo'shilmaganligini ko'rsatadi. Shuning uchun u nol bo'lib qoladi.

Shunday qilib, ko'paytirishning mavjud formulasida biz ikkita "belgi qoidalarini" (ko'paytiruvchi manfiy bo'lganda) va raqamni nolga ko'paytirishni tushunishga to'sqinlik qiladigan uchta semantik xatoni topdik.

Ko'paytmani qo'shishingiz shart emas, lekin uni nolga qo'shing.
Ko'paytirish nafaqat nolga qo'shish, balki noldan ayirish hamdir.
Ko'paytiruvchi va uning belgisi hadlar sonini emas, balki ko'paytirishni atamalarga (yoki ayirilganlarga) ajratishda ortiqcha yoki minus belgilarining sonini ko'rsatadi.

Formulani biroz aniqlab, biz ko'paytirish va sonni nolga ko'paytirish belgilarining qoidalarini ko'paytirishning kommutativ qonuni yordamisiz, taqsimlash qonunisiz, raqamlar chizig'iga o'xshashliksiz, tenglamalarsiz tushuntira oldik. , teskari tomondan isbotsiz va hokazo.

Ko'paytirishning aniq formulasi uchun belgi qoidalari juda sodda tarzda olingan.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Ko'paytiruvchi va uning belgisi (+3 yoki -3) tenglamaning o'ng tomonidagi "+" yoki "-" belgilarining sonini ko'rsatadi.

Ko'paytirishning o'zgartirilgan formulasi raqamni bir darajaga ko'tarish operatsiyasiga mos keladi.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2^0 = 1 (bir narsa ko'paytirilmaydi yoki bo'linmaydi, shuning uchun u bitta bo'lib qoladi)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematiklar sonni ijobiy darajaga ko'tarish bir necha marta ko'paytirilishiga rozi bo'lishadi. Raqamni manfiy darajaga ko'tarish esa bir necha marta bo'linadi.

Ko'paytirish amali daraja ko'tarish operatsiyasiga o'xshash bo'lishi kerak.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2*0 = 0 (nolga hech narsa qo'shilmaydi va noldan hech narsa ayirilmaydi)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Ko'paytirishning o'zgartirilgan formulasi matematikada hech narsani o'zgartirmaydi, lekin ko'paytirish operatsiyasining asl ma'nosini qaytaradi, "belgilar qoidalari" ni tushuntiradi, raqamni nolga ko'paytiradi va ko'paytirishni ko'rsatkich bilan uyg'unlashtiradi.

Keling, ko'paytirish formulamiz bo'linish operatsiyasiga mos keladimi yoki yo'qligini tekshirib ko'raylik.

15: 5 = 3 (5 * 3 = 15 ko'paytirishning teskarisi)

Bo'lim (3) ko'paytirish paytida nolga qo'shish (+3) operatsiyalari soniga mos keladi.

15 raqamini 5 ga bo'lish 15 dan 5 ni necha marta ayirish kerakligini topadi. Bu nol natija olinmaguncha ketma-ket ayirish orqali amalga oshiriladi.

Bo'linish natijasini topish uchun siz minus belgilar sonini hisoblashingiz kerak. Ulardan uchtasi bor.

15: 5 = 15 dan beshni ayirishning 3 ta amali, nolga erishiladi.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (15:5 bo'linish)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (5 * 3 ni ko'paytirish)

Qolgan bilan bo'linish.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 va 2 qoldiq

Agar qoldiq bilan bo'linish bo'lsa, nega qo'shimcha bilan ko'paytirmaslik kerak?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Keling, kalkulyatordagi so'zlardagi farqni ko'rib chiqaylik

Ko'paytirishning mavjud formulasi (uchta atama).

10 + 10 + 10 = 30

Tuzatilgan ko'paytirish formulasi (nol amallarga uchta qo'shimcha).

0 + 10 = = = 30

(“Teng” tugmasini uch marta bosing.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

3 ko'paytmasi 10 ko'paytmasini uch marta nolga qo'shish kerakligini ko'rsatadi.

(-10) atamasini minus uch marta qo'shib (-10) * (-3) ko'paytirib ko'ring!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Uch uchun minus belgisi nimani anglatadi? Balki shundaydir?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops... Men mahsulotni shartlar yig'indisiga (yoki farqiga) (-10) ajrata olmayman.

Qayta ko'rib chiqilgan matn buni to'g'ri bajaradi.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Ko'paytma (-3) ko'paytma (-10) ni noldan uch marta ayirish kerakligini ko'rsatadi.

Qo'shish va ayirish uchun belgi qoidalari

Yuqorida biz ko'paytirish so'zining ma'nosini o'zgartirish orqali ko'paytirish uchun belgilar qoidalarini olishning oddiy usulini ko'rsatdik.

Ammo xulosa qilish uchun biz qo'shish va ayirish uchun belgilar qoidalaridan foydalandik. Ular ko'paytirish bilan deyarli bir xil. Keling, qo'shish va ayirish uchun belgilar qoidalarining vizualizatsiyasini yarataylik, shunda hatto birinchi sinf o'quvchisi ham buni tushunishi mumkin.

"Minus", "salbiy" nima?

Tabiatda hech qanday salbiy narsa yo'q. Manfiy harorat, manfiy yo'nalish, manfiy massa, manfiy zaryad yo'q... Hatto sinus ham o'z tabiatiga ko'ra faqat ijobiy bo'lishi mumkin.

Ammo matematiklar manfiy raqamlarni o'ylab topishdi. Nima uchun? "Minus" nimani anglatadi?

Minus belgisi qarama-qarshi yo'nalishni anglatadi. Chap - o'ng. Yuqori - pastki. Soat yo'nalishi bo'yicha - soat sohasi farqli o'laroq. Oldinga - orqaga. Sovuq - issiq. Engil - og'ir. Sekin - tez. Agar siz bu haqda o'ylab ko'rsangiz, salbiy qiymatlardan foydalanish qulay bo'lgan boshqa ko'plab misollarni keltira olasiz.

Biz bilgan dunyoda cheksizlik noldan boshlanadi va ortiqcha cheksizlikka boradi.

"Minus cheksizlik" haqiqiy dunyoda mavjud emas. Bu "minus" tushunchasi bilan bir xil matematik konventsiyadir.

Shunday qilib, "minus" teskari yo'nalishni bildiradi: harakat, aylanish, jarayon, ko'paytirish, qo'shish. Keling, ijobiy va salbiy (boshqa yo'nalishda ortib borayotgan) sonlarni qo'shish va ayirishda turli yo'nalishlarni tahlil qilaylik.

Qo'shish va ayirish uchun belgilar qoidalarini tushunishdagi qiyinchilik bu qoidalarning odatda raqamlar qatorida tushuntirilishi bilan bog'liq. Raqamlar qatorida uch xil komponent aralashtiriladi, ulardan qoidalar kelib chiqadi. Va chalkashlik tufayli, turli xil tushunchalarni bir uyumga yig'ish natijasida tushunishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi.

Qoidalarni tushunish uchun biz quyidagilarni ajratishimiz kerak:

birinchi muddat va yig'indi (ular gorizontal o'qda bo'ladi);
ikkinchi muddat (u vertikal o'qda bo'ladi);
qo'shish va ayirish amallarining yo'nalishi.

Ushbu bo'linish rasmda aniq ko'rsatilgan. Vertikal o'q gorizontal o'qga qo'shilib, aylanishi mumkinligini aqliy tasavvur qiling.

Qo'shish operatsiyasi har doim vertikal o'qni soat yo'nalishi bo'yicha (ortiqcha belgisi) aylantirish orqali amalga oshiriladi. Ayirish operatsiyasi har doim vertikal o'qni soat sohasi farqli ravishda (minus belgisi) aylantirish orqali amalga oshiriladi.

Misol. Pastki o'ng burchakdagi diagramma.

Ko'rinib turibdiki, ikkita qo'shni minus belgisi (ayirish amalining belgisi va 3 raqamining belgisi) turli xil ma'nolarga ega. Birinchi minus ayirish yo'nalishini ko'rsatadi. Ikkinchi minus - vertikal o'qdagi raqamning belgisi.

Gorizontal o'qdagi birinchi hadni (-2) toping. Vertikal o'qdagi ikkinchi hadni (-3) toping. Vertikal o'qni soat miliga teskari yo'nalishda (-3) gorizontal o'qdagi raqamga (+1) mos kelguncha aylantiring. Raqam (+1) qo'shish natijasidir.

Ayirish operatsiyasi

yuqori o'ng burchakdagi diagrammadagi qo'shish amali bilan bir xil natija beradi.

Shuning uchun ikkita qo'shni minus belgisi bitta ortiqcha belgisi bilan almashtirilishi mumkin.

Biz hammamiz arifmetikaning tayyor qoidalarini ularning ma'nosi haqida o'ylamasdan ishlatishga odatlanganmiz. Shuning uchun biz ko'pincha qo'shish (ayirish) belgilari qoidalari ko'paytirish (bo'lish) belgilari qoidalaridan qanday farq qilishini sezmaymiz. Ular bir xil ko'rinadimi? Deyarli... Bir oz farqni quyidagi rasmda ko'rish mumkin.

Endi bizda ko'paytirish uchun belgi qoidalarini olish uchun kerak bo'lgan hamma narsa bor. Chiqish ketma-ketligi quyidagicha.

Biz qo'shish va ayirish uchun belgilar qoidalari qanday olinganligini aniq ko'rsatamiz.
Biz ko'paytirishning mavjud formulasiga semantik o'zgarishlar kiritamiz.
Ko'paytirishning o'zgartirilgan formulasi va qo'shish uchun belgilar qoidalariga asoslanib, biz ko'paytirish belgilari qoidalarini olamiz.

Eslatma.

Quyida yozilgan Qo'shish va ayirish uchun belgi qoidalari, vizualizatsiyadan olingan. Va qizil rangda, taqqoslash uchun, matematika darsligidagi belgilarning bir xil qoidalari. Qavslar ichidagi kulrang plyus ko'rinmas plyus bo'lib, u ijobiy raqam uchun yozilmaydi.

Shartlar orasida har doim ikkita belgi bor: operatsiya belgisi va raqam belgisi (biz ortiqcha yozmaymiz, lekin biz buni nazarda tutamiz). Belgilar qoidalari qo'shish (ayirish) natijasini o'zgartirmasdan bir juft belgilarni boshqa juftlik bilan almashtirishni belgilaydi. Aslida, faqat ikkita qoida mavjud.

1 va 3-qoidalar (vizualizatsiya uchun) - takroriy qoidalar 4 va 2 .. Maktab talqinidagi 1 va 3-qoidalar vizual sxema bilan mos kelmaydi, shuning uchun ular qo'shimcha belgilar qoidalariga taalluqli emas. Bu boshqa qoidalar ...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+)....... + - = - (+) yaxshi

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) yaxshi

Maktab qoidasi 1. (qizil) ketma-ket ikkita plyusni bitta ortiqcha bilan almashtirish imkonini beradi. Qoida qo'shish va ayirish belgilarini almashtirishga taalluqli emas.

Maktab qoidasi 3. (qizil) ayirish operatsiyasidan so'ng ijobiy raqam uchun ortiqcha belgisini yozmaslikka imkon beradi. Qoida qo'shish va ayirish belgilarini almashtirishga taalluqli emas.

Qo'shish uchun belgilar qoidalarining ma'nosi qo'shilish natijasini o'zgartirmasdan bir JUFT belgilarni boshqa JUFT belgilar bilan almashtirishdir.

Maktab metodistlari ikkita qoidani bitta qoidada aralashtirdilar:

Musbat va manfiy sonlarni qo'shish va ayirishda belgilarning ikkita qoidasi (bir juft belgini boshqa juft belgilar bilan almashtirish);

Ijobiy raqam uchun ortiqcha belgisini yozmaslik uchun ikkita qoida.

Birga aralashgan ikki xil qoida ko'paytirishdagi belgilar qoidalariga o'xshaydi, bu erda ikkita belgi uchinchisini keltirib chiqaradi. Ular mutlaqo o'xshash.

Katta chalkashlik! Yana bir xil narsa, yaxshiroq detangling uchun. Raqam belgilaridan farqlash uchun operatsiya belgilarini qizil rang bilan ajratib ko'rsatamiz.

1. Qo‘shish va ayirish. Belgilarning ikkita qoidasi, unga ko'ra atamalar orasidagi belgilar juftlari almashtiriladi. Amaliyot belgisi va raqam belgisi.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. Ikki qoidaga ko'ra, ijobiy raqam uchun ortiqcha belgisini yozmaslikka ruxsat beriladi. Bu kirish shakli uchun qoidalar. Qo'shimchaga taalluqli emas. Ijobiy raqam uchun faqat operatsiya belgisi yoziladi.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Ko'paytirish uchun belgilarning to'rtta qoidasi. Omillarning ikkita belgisi mahsulotning uchinchi belgisiga olib kelganda. Ko'paytirish uchun belgi qoidalari faqat son belgilarini o'z ichiga oladi.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Endi biz shakl qoidalarini ajratganimizdan so'ng, qo'shish va ayirish uchun belgi qoidalari ko'paytirish uchun ishora qoidalariga umuman o'xshamasligi aniq bo'lishi kerak.

V. Kozarenko

Natural sonlarni, oddiy va o'nli kasrlarni ko'paytirish qobiliyatini mustahkamlash;

Ijobiy va manfiy sonlarni ko'paytirishni o'rganing;

Guruhlarda ishlash qobiliyatini rivojlantirish,

Matematikaga qiziqish va qiziqishni rivojlantirish; mavzu bo'yicha fikrlash va gapirish qobiliyati.

Uskunalar: termometrlar va uylarning modellari, aqliy hisoblash uchun kartalar va sinov ishi, ko'paytirish uchun belgilar qoidalari bilan plakat.

Motivatsiya

O'qituvchi . Bugun biz yangi mavzuni o'rganishni boshlaymiz. Xuddi biz qurmoqchimiz yangi uy. Ayting-chi, uyning mustahkamligi nimaga bog'liq?

Keling, bizning poydevorimiz nima ekanligini, ya'ni bilimimizning mustahkamligini tekshiramiz. Men sizga dars mavzusini aytmadim. U kodlangan, ya'ni aqliy hisoblash uchun vazifada yashiringan. Ehtiyot va kuzatuvchi bo'ling. Mana misollar bilan kartalar. Ularni yechish va javobni harf bilan moslashtirish orqali siz dars mavzusining nomini bilib olasiz.

O'qituvchi. Shunday qilib, bu so'z "ko'paytirish". Ammo biz ko'paytirish bilan allaqachon tanishmiz. Yana nima uchun biz uni o'rganishimiz kerak? Yaqinda qanday raqamlar bilan tanishdingiz?

[Ijobiy va salbiy bilan.]

Biz ularni qanday ko'paytirishni bilamizmi? Shuning uchun dars mavzusi "Ijobiy va manfiy sonlarni ko'paytirish" bo'ladi.

Siz misollarni tez va to'g'ri hal qildingiz. Yaxshi poydevor qo'yilgan. ( Namunaviy uyda o'qituvchi « yotadi» asos.) Menimcha, uy kuchli bo'ladi.

Yangi mavzuni o'rganish

O'qituvchi . Endi biz devorlarni quramiz. Ular zamin va tomni, ya'ni eski mavzuni yangi bilan bog'laydi. Endi siz guruhlarda ishlaysiz. Har bir guruhga birgalikda yechish uchun masala beriladi, keyin esa sinfga yechimini tushuntiradi.

1-guruh

Har soatda havo harorati 2° ga pasayadi. Endi termometr nol darajani ko'rsatadi. 3 soatdan keyin u qanday haroratni ko'rsatadi?

Guruh qarori. Hozir harorat 0 ga teng va har soatda harorat 2° ga pasayganligi sababli, 3 soatdan keyin harorat -6° bo'lishi aniq. Haroratning pasayishini -2°, vaqtni esa +3 soat bilan belgilaymiz. U holda (–2)·3 = –6 deb taxmin qilishimiz mumkin.

O'qituvchi . Agar omillarni, ya'ni 3·(–2) ni qayta joylashtirsam nima bo'ladi?

Talabalar. Javob bir xil: –6, chunki ko‘paytirishning kommutativ xususiyati qo‘llaniladi.

Har soatda havo harorati 2° ga pasayadi. Endi termometr nol darajani ko'rsatadi. 3 soat oldin termometr qanday havo haroratini ko'rsatdi?

Guruh qarori. Har soatda havo harorati 2° ga tushib, hozir esa 0 ga teng boʻlgani uchun, 3 soat oldin +6° boʻlgani koʻrinib turibdi. Haroratning pasayishini -2° va o'tgan vaqtni -3 soat deb belgilaymiz. U holda (–2)·(–3) = 6 deb faraz qilishimiz mumkin.

O'qituvchi . Siz hali musbat va manfiy sonlarni qanday ko'paytirishni bilmayapsiz. Ammo ular bunday raqamlarni ko'paytirish kerak bo'lgan muammolarni hal qilishdi. Musbat va manfiy sonni yoki ikkita manfiy sonni ko'paytirish qoidalarini o'zingiz chiqarishga harakat qiling. ( Talabalar qoida chiqarishga harakat qiladilar.) Yaxshi. Endi darsliklarimizni ochib, musbat va manfiy sonlarni ko‘paytirish qoidalarini o‘qib chiqamiz. Qoidangizni darslikda yozilgani bilan solishtiring.

1-qoida. Ikki raqamni ko'paytirish uchun turli belgilar, siz ushbu raqamlarning modullarini ko'paytirishingiz va natijada olingan mahsulot oldida "-" belgisini qo'yishingiz kerak.

2-qoida. Bir xil belgilarga ega ikkita raqamni ko'paytirish uchun siz ushbu raqamlarning mutlaq qiymatlarini ko'paytirishingiz va hosil bo'lgan mahsulot oldiga "+" belgisini qo'yishingiz kerak.

O'qituvchi. Poydevorni qurishda siz ko'rganingizdek, sizda tabiiy va kasr sonlarini ko'paytirish bilan bog'liq muammolar yo'q. Ijobiy va salbiy sonlarni ko'paytirishda muammolar paydo bo'lishi mumkin. Nega?

Eslab qoling! Ijobiy va manfiy sonlarni ko'paytirishda:

1) belgini aniqlang;
2) modullarning ko‘paytmasini toping.

O'qituvchi . Ko'paytirish belgilarining o'ziga xos mnemonik qoidalari bor, ularni eslab qolish juda oson. Ular qisqacha quyidagicha tuzilgan:

“+”·“+” = “+” - plyus ustiga plyus ortiqcha beradi;
“–”·“+” = “–” - minus plyus plyus minus beradi;
“+”·“–” = “–” - ortiqcha ortiqcha minus minus beradi;
“–”·“–” = “+” - minus bilan minus ortiqcha beradi.

(O`quvchilar daftarlariga belgilar qoidasini yozib oladilar.)

O'qituvchi . Agar biz o'zimizni va do'stlarimizni ijobiy, dushmanlarimizni esa salbiy deb hisoblasak, buni aytishimiz mumkin:

Do'stimning do'sti mening do'stim.
Do'stimning dushmani mening dushmanim.
Dushmanimning do'sti mening dushmanimdir.
Dushmanimning dushmani mening do'stimdir.

O'rganilgan narsalarni birlamchi tushunish va qo'llash

Doskada og'zaki yechimlarga misollar keltirilgan. Talabalar qoidani aytadilar:

O'qituvchi . Hammasi aniqmi? Savollaringiz bormi? Shunday qilib, devorlar quriladi. ( O'qituvchi devorlarni o'rnatadi.) Endi biz nimani qurmoqdamiz?

(Doskaga to‘rt nafar talaba chaqiriladi.)

O'qituvchi. Tom tayyormi?

(O'qituvchi namunaviy uyga tom qo'yadi.)

Talabalar ishni bitta variantda bajaradilar.

Ishni tugatgandan so'ng, ular qo'shnisi bilan daftar almashadilar. O'qituvchi to'g'ri javoblar haqida xabar beradi va o'quvchilar bir-birlarini baholaydilar.

Dars xulosasi. Reflektsiya

O'qituvchi. Dars boshida qanday maqsadni oldik? Ijobiy va manfiy sonlarni ko'paytirishni o'rgandingizmi? ( Qoidalarni takrorlang.) Ushbu darsda ko'rganingizdek, har bir yangi mavzu- bu ko'p yillar davomida puxta qurilishi kerak bo'lgan uy. Aks holda, barcha binolaringiz qisqa vaqt ichida qulab tushadi. Shuning uchun hamma narsa sizga bog'liq. Sizlarga omad va bilim olishda muvaffaqiyatlar tilayman.

Imzo qoidalari

imzo qoidalari

Keling, belgilarning asosiy qoidalarini batafsil ko'rib chiqaylik.

Agar "ortiqcha" ni "minus" ga bo'lsak, biz doimo "minus" ni olamiz. Agar "minus" ni "ortiqcha" ga bo'lsak, biz doimo "minus" ni ham olamiz. Agar "ortiqcha" ni "ortiqcha" ga bo'lsak, biz "ortiqcha" olamiz. Agar biz "minus" ni "minus" ga bo'lsak, g'alati, biz ham "ortiqcha" olamiz.

Agar biz "minus" ni "ortiqcha" ga ko'paytirsak, biz doimo "minus" olamiz. Agar biz "ortiqcha" ni "minus" ga ko'paytirsak, biz doimo "minus" ni olamiz. Agar biz "ortiqcha" ni "ortiqcha" ga ko'paytirsak, biz ijobiy raqamni olamiz, ya'ni "ortiqcha". Xuddi shu narsa ikkita salbiy raqamga ham tegishli. Agar "minus" ni "minus" ga ko'paytirsak, biz "ortiqcha" olamiz.

Ular turli xil printsiplarga asoslanadi. Agar salbiy raqam bizning ijobiy raqamimizdan kattaroq bo'lsa, natija, albatta, salbiy bo'ladi. Albatta, siz modul nima ekanligini va nima uchun bu erda ekanligiga qiziqasiz. Bu juda oddiy. Modul - bu raqamning qiymati, ammo belgisiz. Masalan -7 va 3. Modulo -7 oddiygina 7 bo'ladi, 3 esa 3 bo'lib qoladi. Natijada, biz 7 katta ekanligini ko'ramiz, ya'ni bizning manfiy raqamimiz kattaroq bo'lib chiqadi. Shunday qilib -7+3 = -4 chiqadi. Buni yanada soddalashtirish mumkin. Faqat ijobiy raqamni birinchi o'ringa qo'ying va u 3-7 = -4 chiqadi, ehtimol bu kimdir uchun aniqroqdir. Ayirish xuddi shu printsip asosida ishlaydi.

Nega minus marta minus ortiqcha beradi?

"Mening dushmanimning dushmani mening do'stim".

Uzoq vaqt oldin odamlar faqat natural sonlarni bilishgan: 1, 2, 3, . Ular idishlarni, o'ljalarni, dushmanlarni va hokazolarni hisoblash uchun ishlatilgan. Lekin raqamlarning o'zi juda foydasiz - siz ularni qanday boshqarishni bilishingiz kerak. Qo'shish tushunarli va tushunarli, bundan tashqari, ikkita natural sonning yig'indisi ham natural sondir (matematik qo'shish amali ostida natural sonlar to'plami yopilgan deb aytadi). Agar natural sonlar haqida gapiradigan bo'lsak, ko'paytirish qo'shish bilan bir xil. Hayotda biz ko'pincha ushbu ikki operatsiya bilan bog'liq harakatlarni bajaramiz (masalan, xarid qilishda biz qo'shamiz va ko'paytiramiz) va ota-bobolarimiz ularga kamroq duch kelgan deb o'ylash g'alati - qo'shish va ko'paytirish insoniyat tomonidan juda uzoq vaqt davomida o'zlashtirilgan. oldin. Ko'pincha siz ba'zi miqdorlarni boshqalarga bo'lishingiz kerak, ammo bu erda natija har doim ham natural son sifatida ko'rsatilmaydi - kasr raqamlari shunday paydo bo'ldi.

Milodiy VII asrdan boshlab Hindiston hujjatlarida manfiy raqamlar paydo bo'lgan; Aftidan, xitoyliklar ulardan biroz oldinroq foydalanishni boshladilar. Ular qarzlarni hisobga olishda yoki tenglamalar yechimini soddalashtirish uchun oraliq hisob-kitoblarda ishlatilgan - bu faqat ijobiy javob olish uchun vosita edi. Salbiy raqamlar, ijobiy raqamlardan farqli o'laroq, hech qanday shaxs mavjudligini bildirmasligi kuchli ishonchsizlikni keltirib chiqardi. Odamlar tom ma'noda salbiy raqamlardan qochishdi: agar muammoga salbiy javob bo'lsa, ular umuman javob yo'qligiga ishonishdi. Bu ishonchsizlik juda uzoq vaqt davom etdi va hatto Dekart - zamonaviy matematikaning "asoschilaridan" biri - ularni "yolg'on" deb atagan (17-asrda!).

7x – 17 = 2x – 2. Buni shunday hal qilish mumkin: noma'lum shartlarni chap tomonga, qolganini o'ngga siljiting, bu chiqadi 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3

Ammo tasodifan buni boshqacha qilish mumkin edi: noma'lum shartlarni o'ng tomonga o'tkazing va oling 2 – 17 = 2x – 7x , (–15) = (–5)x. Noma'lumni topish uchun bitta manfiy sonni boshqasiga bo'lish kerak: x = (–15)/(–5). Ammo to'g'ri javob ma'lum va bu haqda xulosa qilish kerak (–15)/(–5) = 3 .

. Ikkinchidan, manfiy raqamlardan foydalanishga ruxsat berish orqali biz zerikarli (agar tenglama murakkabroq bo'lib chiqsa, ko'p sonli atamalar bilan) barcha harakatlar faqat natural sonlarda bajariladigan echimni izlashdan xalos bo'lamiz. Bundan tashqari, biz endi har safar o'zgartirilgan miqdorlarning ma'nosi haqida o'ylamasligimiz mumkin - va bu allaqachon matematikani mavhum fanga aylantirish uchun qadamdir.

Salbiy raqamlar bilan ishlash qoidalari darhol shakllanmagan, ammo amaliy muammolarni hal qilishda paydo bo'lgan ko'plab misollarning umumlashtirilishiga aylandi. Umuman olganda, matematikaning rivojlanishini bosqichlarga bo'lish mumkin: har bir keyingi bosqich ob'ektlarni o'rganishda oldingisidan yangi abstraktsiya darajasi bilan farq qiladi. Shunday qilib, 19-asrda matematiklar, barcha tashqi farqlariga qaramay, butun sonlar va ko'phadlarning umumiy tomonlari borligini tushunishdi: ikkalasini ham qo'shish, ayirish va ko'paytirish mumkin. Bu amallar bir xil qonunlarga bo'ysunadi - sonlar uchun ham, ko'phadlar uchun ham. Lekin butun sonlarni bir-biriga bo'lish, natijada yana butun son bo'lish har doim ham mumkin emas. Polinomlar bilan ham xuddi shunday.

uzuk aksiomalar

Ring

A + B = B + A har qanday elementlar uchun A Va B) va assotsiativ ( A + (B + C) = (A + B) + C A+0=A, va har qanday element uchun A (–A)), Nima A + (–A) = 0 ;
ko'paytirish kombinatsiya qonuniga bo'ysunadi: A·(B·C) = (A·B)·C ;

E'tibor bering, halqalar, eng umumiy konstruktsiyada, ko'paytirishning o'zgaruvchanligini yoki uning invertivligini (ya'ni, bo'linishni har doim ham amalga oshirish mumkin emas) yoki ko'paytirishda neytral elementning mavjudligini talab qilmaydi. Agar biz bu aksiomalarni kiritsak, biz turli algebraik tuzilmalarni olamiz, lekin ularda halqalar uchun isbotlangan barcha teoremalar to'g'ri bo'ladi.

A ikkita qarama-qarshilik mavjud: B Va BILAN. Ya'ni A + B = 0 = A + C. Keling, miqdorni ko'rib chiqaylik A+B+C B: C: . Ma'nosi, B=C .

Endi shuni ta'kidlaymiz A, Va (–(–A)) (–A)

Birinchi fakt shunday chiqadi: ya'ni (–A)·B qarama-qarshi A·B, bu teng ekanligini anglatadi –(A B) .

0·B = 0 har qanday element uchun B. Aslida, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Ya'ni, qo'shimcha 0·B

Minusni minusga ko'paytirish qoidalari

Bir oz cho'zilgan holda, xuddi shu tushuntirish 1-5 mahsulot uchun amal qiladi, agar "sum" bittadan olingan deb taxmin qilsak.

muddat bu muddatga teng. Ammo 0 5 yoki (-3) 5 ko'paytmasini bu tarzda tushuntirib bo'lmaydi: nol yoki minus uchta hadning yig'indisi nimani anglatadi?

Biroq, siz omillarni qayta tartibga solishingiz mumkin

Agar biz omillarni qayta joylashtirganda mahsulot o'zgarmasligini istasak - musbat raqamlarda bo'lgani kabi - u holda biz taxmin qilishimiz kerak

Endi (-3) (-5) ko'paytmaga o'tamiz. Bu nimaga teng: -15 yoki +15? Ikkala variantning ham sabablari bor. Bir tomondan, bitta omildagi minus allaqachon mahsulotni salbiy qiladi - bundan ham ko'proq, agar ikkala omil ham salbiy bo'lsa, u salbiy bo'lishi kerak. Boshqa tomondan, jadvalda. 7 allaqachon ikkita minusga ega, lekin faqat bitta ortiqcha va "adolat uchun" (-3) - (-5) +15 ga teng bo'lishi kerak. Xo'sh, qaysi birini afzal ko'rishingiz kerak?

Albatta, bunday gaplardan adashmaysiz: maktabdagi matematika kursidan siz minus bilan minus ortiqcha bo'lishini aniq bilib oldingiz. Ammo tasavvur qiling-a, sizning akangiz yoki opangiz sizdan so'radi: nega? Bu nima - o'qituvchining injiqligi, yuqori hokimiyat buyrug'i yoki isbotlanishi mumkin bo'lgan teorema?

Odatda salbiy sonlarni ko'paytirish qoidasi jadvalda keltirilgan misollar bilan tushuntiriladi. 8.

Buni boshqacha tushuntirish mumkin. Keling, raqamlarni ketma-ket yozamiz

Keling, bir xil sonlarni 3 ga ko'paytiramiz:

Har bir raqam oldingisidan 3 taga ko'p ekanligini payqash oson, endi bir xil raqamlarni teskari tartibda yozamiz (masalan, 5 va 15 dan boshlab):

Bundan tashqari, -5 raqami ostida -15 raqami bor edi, shuning uchun 3 (-5) = -15: ortiqcha minus minusni beradi.

Endi 1,2,3,4,5 sonlarini ko'paytirib, xuddi shu tartibni takrorlaymiz. -3 ga (biz allaqachon bilamizki, ortiqcha minus minus beradi):

Pastki qatordagi har bir keyingi raqam oldingisidan 3 ga kam raqamlarni teskari tartibda yozing

-5 raqami ostida 15 ta bor, shuning uchun (-3) (-5) = 15.

Ehtimol, bu tushuntirishlar sizning akangiz yoki singlingizni qoniqtirar. Lekin siz narsalarning qandayligini so'rashga haqingiz bor va (-3) (-5) = 15 ekanligini isbotlash mumkinmi?

Bu yerda javob shuki, qo‘shish, ayirish va ko‘paytirishning oddiy xossalari barcha sonlar, jumladan, manfiylar uchun ham to‘g‘ri bo‘lishini istasak, (-3) (-5) 15 ga teng bo‘lishi kerakligini isbotlash mumkin. Ushbu dalilning sxemasi quyidagicha.

Avval 3 (-5) = -15 ekanligini isbotlaymiz. -15 nima? Bu 15 ning qarama-qarshi soni, ya'ni 15 ga qo'shilganda 0 ni beradigan raqam. Demak, buni isbotlashimiz kerak.

(Qavs ichidan 3 ni olib, biz taqsimlanish qonunini ab + ac = a(b + c) uchun ishlatdik - axir u barcha sonlar, shu jumladan manfiy raqamlar uchun ham to'g'ri bo'lib qoladi deb taxmin qilamiz.) O'quvchi bizdan nima uchun deb so'raydi, biz halol tan olamiz: biz bu faktning isbotini o'tkazib yuboramiz - shuningdek, nolning umumiy muhokamasini.)

Endi (-3) (-5) = 15 ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun yozamiz

va tenglikning ikkala tomonini -5 ga ko'paytiring:

Chap tarafdagi qavslarni ochamiz:

ya'ni (-3) (-5) + (-15) = 0. Shunday qilib, son -15 soniga qarama-qarshi, ya'ni 15 ga teng. (Bu fikrda ham bo'shliqlar mavjud: isbotlash kerak bo'ladi. -15 ga qarama-qarshi bo'lgan bitta raqam borligi.)

Kamchiliklar qoidasi. Nega minus marta minus ortiqcha beradi?

Matematika o'qituvchisini tinglab, ko'pchilik o'quvchilar materialni aksioma sifatida qabul qiladilar. Shu bilan birga, bir nechta odam buning tubiga tushishga harakat qiladi va nima uchun "minus" "ortiqcha" "minus" belgisini beradi va ikkita salbiy raqamni ko'paytirishda ijobiy natija chiqadi.

Matematika qonunlari

Aksariyat kattalar o'zlariga yoki farzandlariga nima uchun bu sodir bo'lishini tushuntira olmaydilar. Ular maktabda ushbu materialni qattiq o'zlashtirdilar, lekin bunday qoidalar qaerdan kelganini bilishga ham harakat qilishmadi. Lekin behuda. Ko'pincha, zamonaviy bolalar unchalik ishonuvchan emaslar va ular nima uchun "ortiqcha" va "minus" "minus" berishini tushunishlari kerak. Va ba'zida tomboylar maxsus so'rashadi qiyin savollar, kattalar aniq javob bera olmaydigan paytdan zavqlanish uchun. Va agar yosh o'qituvchi muammoga duch kelsa, bu haqiqatan ham falokat.

Aytgancha, shuni ta'kidlash kerakki, yuqorida aytib o'tilgan qoida ko'paytirish va bo'lish uchun ham amal qiladi. Salbiy va ijobiy sonning mahsuloti faqat "minus" beradi. Agar haqida gapiramiz"-" belgisi bilan taxminan ikki raqam, natijada ijobiy raqam bo'ladi. Xuddi shu narsa bo'linish uchun ham amal qiladi. Agar raqamlardan biri manfiy bo'lsa, u holda bo'linma ham "-" belgisiga ega bo'ladi.

Matematikaning ushbu qonunining to'g'riligini tushuntirish uchun halqa aksiomalarini shakllantirish kerak. Lekin avval bu nima ekanligini tushunishingiz kerak. Matematikada halqa odatda ikkita elementli ikkita operatsiya ishtirok etadigan to'plam deb ataladi. Ammo buni misol bilan tushunish yaxshiroqdir.

Ring aksiomasi

Bir nechta matematik qonunlar mavjud.

Ulardan birinchisi kommutativ bo'lib, unga ko'ra C + V = V + C.
Ikkinchisi assotsiativ (V + C) + D = V + (C + D) deb ataladi.

Ko'paytirish (V x C) x D = V x (C x D) ham ularga bo'ysunadi.

Qavslar ochiladigan qoidalarni hech kim bekor qilmagan (V + C) x D = V x D + C x D, C x (V + D) = C x V + C x D ekanligi ham haqiqatdir.

Bundan tashqari, halqaga maxsus, qo'shimchasiz neytral element kiritilishi mumkinligi aniqlandi, foydalanilganda quyidagilar to'g'ri bo'ladi: C + 0 = C. Bundan tashqari, har bir C uchun qarama-qarshi element mavjud bo'lib, u mumkin. (-C) sifatida belgilansin. Bu holda, C + (-C) = 0.

Manfiy sonlar uchun aksiomalarni chiqarish

Yuqoridagi gaplarni qabul qilib, biz savolga javob berishimiz mumkin: "Plyus va minus qanday belgini beradi?" Salbiy sonlarni ko'paytirish aksiomasini bilib, haqiqatan ham (-C) x V = -(C x V) ekanligini tasdiqlash kerak. Shuningdek, quyidagi tenglik to'g'ri: (-(-C)) = C.

Buni amalga oshirish uchun, avvalo, har bir elementning qarama-qarshi tomonida faqat bitta "aka" borligini isbotlashingiz kerak bo'ladi. Quyidagi dalil misolini ko'rib chiqing. Tasavvur qilishga harakat qilaylik, C uchun ikkita raqam qarama-qarshi - V va D. Bundan kelib chiqadiki, C + V = 0 va C + D = 0, ya'ni C + V = 0 = C + D. Qonunlarni eslab qolish. kommutatsiya va 0 raqamining xususiyatlari haqida, biz barcha uch raqamlarning yig'indisini ko'rib chiqishimiz mumkin: C, V va D. V ning qiymatini topishga harakat qilaylik. V = V + 0 = V + (C) mantiqan to'g'ri keladi. + D) = V + C + D, chunki yuqorida taxmin qilinganidek C + D qiymati 0 ga teng. Bu V = V + C + D ni bildiradi.

D ning qiymati xuddi shunday tarzda chiqariladi: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Bundan V = D ekanligi ayon bo'ladi.

Nima uchun "ortiqcha" "minus" hali ham "minus" ni berishini tushunish uchun siz quyidagilarni tushunishingiz kerak. Demak, (-C) element uchun C va (-(-C)) qarama-qarshidir, ya'ni ular bir-biriga tengdir.

Shunda 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V ekanligi ayon bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, C x V (-) C x V ga qarama-qarshidir, bu (- C) x V = -(C x V) degan ma'noni anglatadi.

To'liq matematik qat'iylik uchun, shuningdek, har qanday element uchun 0 x V = 0 ekanligini tasdiqlash kerak. Agar siz mantiqqa amal qilsangiz, u holda 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Bu degani, 0 x V mahsulotini qo'shish belgilangan miqdorni hech qanday tarzda o'zgartirmaydi. Axir, bu mahsulot nolga teng.

Ushbu aksiomalarning barchasini bilib, siz nafaqat "ortiqcha" va "minus" ning qancha ekanligini, balki salbiy sonlarni ko'paytirishda nima sodir bo'lishini ham aniqlashingiz mumkin.

Ikki raqamni "-" belgisi bilan ko'paytirish va bo'lish

Agar siz matematik nuanslarni o'rganmasangiz, ko'proq harakat qilishingiz mumkin oddiy tarzda Salbiy sonlar bilan ishlash qoidalarini tushuntiring.

Faraz qilaylik, C - (-V) = D, bunga asoslanib, C = D + (-V), ya'ni C = D - V. V ni o'tkazamiz va C + V = D ni olamiz. Ya'ni, C + V = C - (-V). Ushbu misolda ikkita "minus" ketma-ket bo'lgan iborada nima uchun ko'rsatilgan belgilar "ortiqcha" ga o'zgartirilishi kerakligini tushuntiradi. Endi ko'paytirishni ko'rib chiqaylik.

(-C) x (-V) = D, siz ifodaga ikkita bir xil hosilani qo'shishingiz va ayirishingiz mumkin, bu uning qiymatini o'zgartirmaydi: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x) V) = D.

Qavslar bilan ishlash qoidalarini eslab, biz quyidagilarni olamiz:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Bundan kelib chiqadiki, C x V = (-C) x (-V).

Xuddi shunday, ikkita manfiy sonni bo'lish ijobiy songa olib kelishini isbotlash mumkin.

Umumiy matematik qoidalar

Albatta, bu tushuntirish maktab o'quvchilari uchun mos emas kichik sinflar mavhum manfiy raqamlarni endigina o'rganishni boshlaganlar. Ular o'zlari tanish bo'lgan oyna ortidagi atamani manipulyatsiya qilib, ko'rinadigan narsalarga tushuntirishlari yaxshiroqdir. Masalan, ixtiro qilingan, ammo mavjud bo'lmagan o'yinchoqlar u erda joylashgan. Ular "-" belgisi bilan ko'rsatilishi mumkin. Ikki ko'zgu ob'ektini ko'paytirish ularni boshqa dunyoga o'tkazadi, bu haqiqiyga tenglashtiriladi, ya'ni natijada bizda ijobiy raqamlar mavjud. Ammo mavhum manfiy sonni ijobiyga ko'paytirish faqat hamma uchun tanish bo'lgan natijani beradi. Axir, "ortiqcha" "minus" ga ko'paytirilsa, "minus" beradi. To'g'ri, bolalar barcha matematik nuanslarni tushunishga harakat qilishmaydi.

Garchi, tan olaylik, ko'p odamlar uchun, hatto bilan oliy ma'lumot Ko'pgina qoidalar sir bo'lib qolmoqda. Har bir inson matematika yashirgan barcha murakkabliklarni chuqur o'rganishda qiyinchiliksiz, o'qituvchilar o'rgatadigan narsalarni tabiiy deb biladi. "Minus" uchun "minus" "ortiqcha" beradi - buni hamma biladi. Bu butun va kasr sonlar uchun ham amal qiladi.

Minus va plyus matematikada manfiy va musbat sonlarning belgilaridir. Ular o'zlari bilan boshqacha munosabatda bo'lishadi, shuning uchun raqamlar bilan har qanday operatsiyalarni bajarishda, masalan, bo'lish, ko'paytirish, ayirish, qo'shish va hokazolarni hisobga olish kerak. imzo qoidalari. Ushbu qoidalarsiz siz hech qachon eng oddiy algebraik yoki geometrik masalani hal qila olmaysiz. Bu qoidalarni bilmay turib, siz nafaqat matematikani, balki fizika, kimyo, biologiya va hatto geografiyani ham o'rgana olmaysiz.

Ayirish va qo'shish.

Ikki inkor tasdiqlovchini hosil qiladi- Bu biz maktabda o'rgangan va hayotimiz davomida amal qiladigan qoidadir. Va nima uchun bizni kim qiziqtirdi? Albatta, bu bayonotni keraksiz savollarsiz eslab qolish va masalaning mohiyatiga chuqur kirmaslik osonroq. Endi "hazm qilish" kerak bo'lgan etarli ma'lumot allaqachon mavjud. Ammo bu savolga hali ham qiziqqanlar uchun biz ushbu matematik hodisani tushuntirishga harakat qilamiz.

Qadim zamonlardan beri odamlar musbat natural sonlardan foydalanganlar: 1, 2, 3, 4, 5,... Sonlar chorva mollarini, ekinlarni, dushmanlarni va hokazolarni sanashda ishlatilgan. Ikki musbat sonni qo'shish va ko'paytirishda ular bir miqdorni boshqasiga bo'lishda har doim musbat songa ega bo'lishdi, ular har doim ham natural sonlarni olishmadi - kasr raqamlari shunday paydo bo'ldi; Ayirish haqida nima deyish mumkin? Bolalikdan biz ko'proqqa kamroq qo'shish va ko'pdan kamroq ayirish yaxshiroq ekanligini bilamiz va yana biz salbiy raqamlardan foydalanmaymiz. Ma'lum bo'lishicha, menda 10 ta olma bo'lsa, men 10 yoki 10 dan kam odamga berishim mumkin. 13 ta olma berishning iloji yo'q, chunki menda ular yo'q. Uzoq vaqt davomida salbiy raqamlarga ehtiyoj qolmadi.

Faqat milodiy VII asrdan boshlab. Manfiy raqamlar ba'zi hisoblash tizimlarida yordamchi miqdorlar sifatida ishlatilgan, bu javobda ijobiy raqamni olish imkonini berdi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik, 6x – 30 = 3x – 9. Javobni topish uchun chap tomonda noma’lumlari bo‘lgan atamalarni, qolganlarini o‘ng tomonda qoldirish kerak: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 . Bu tenglamani yechishda bizda manfiy sonlar ham yo'q edi. Noma’lum shartlarni o‘ng tomonga, noma’lumlari esa chapga ko‘chirishimiz mumkin: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Salbiy sonni manfiy songa bo'lishda biz ijobiy javob olamiz: x = 7.

Salbiy raqamlar bilan ishlash bizni faqat ijobiy raqamlar bilan ishlash kabi javobga olib kelishi kerak. Biz endi harakatlarning amaliy imkonsizligi va mazmunliligi haqida o'ylamasligimiz kerak - ular muammoni faqat ijobiy raqamlarga ega bo'lgan shaklga tushirmasdan, muammoni tezroq hal qilishga yordam beradi. Bizning misolimizda biz murakkab hisob-kitoblardan foydalanmadik, lekin qachon katta miqdorda Salbiy raqamlar bilan hisob-kitoblarni qo'shish bizning ishimizni osonlashtirishi mumkin.

Vaqt o'tishi bilan, uzoq tajribalar va hisob-kitoblardan so'ng, barcha raqamlar va ulardagi amallarni tartibga soluvchi qoidalarni aniqlash mumkin bo'ldi (matematikada ular aksioma deb ataladi). Bu qaerdan kelgan aksioma ikkita manfiy sonni ko'paytirganda musbat sonni olishimizni bildiradi.

www.site, materialni toʻliq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola kerak boʻladi.

1) Nima uchun minus bir marta minus birga teng plyus bir?
2) Nima uchun minus bir marta plyus birga teng minus bir?

"Mening dushmanimning dushmani - mening do'stim".

Eng oson javob: "Chunki bu salbiy raqamlar bilan ishlash qoidalari." Biz maktabda o'rganadigan va hayotimiz davomida amal qiladigan qoidalar. Biroq, darsliklarda qoidalar nima uchun shunday ekanligi tushuntirilmagan. Biz buni birinchi navbatda arifmetikaning rivojlanish tarixiga asoslanib tushunishga harakat qilamiz, keyin esa bu savolga zamonaviy matematika nuqtai nazaridan javob beramiz.

Milodiy VII asrdan boshlab Hindiston hujjatlarida manfiy raqamlar paydo bo'lgan; Aftidan, xitoyliklar ulardan biroz oldinroq foydalanishni boshladilar. Ular qarzlarni hisobga olish yoki tenglamalar yechimini soddalashtirish uchun oraliq hisob-kitoblarda ishlatilgan - ular faqat ijobiy javob olish uchun vosita edi. Salbiy raqamlar, ijobiy raqamlardan farqli o'laroq, hech qanday shaxs mavjudligini bildirmasligi kuchli ishonchsizlikni keltirib chiqardi. Odamlar tom ma'noda salbiy raqamlardan qochishdi: agar muammoga salbiy javob bo'lsa, ular umuman javob yo'qligiga ishonishdi. Bu ishonchsizlik juda uzoq davom etdi va hatto zamonaviy matematikaning "asoschilaridan" biri Dekart ularni "yolg'on" deb atagan (17-asrda!).

Masalan, tenglamani ko'rib chiqing 7x – 17 = 2x – 2. Buni shunday hal qilish mumkin: noma'lum shartlarni chap tomonga, qolganini o'ngga siljiting, bu chiqadi 7x – 2x = 17 – 2 , 5x = 15 , x = 3. Ushbu yechim bilan biz hatto salbiy raqamlarga duch kelmadik.

Ushbu oddiy misol nimani ko'rsatadi? Birinchidan, manfiy raqamlar bilan ishlash qoidalarini aniqlagan mantiq aniq bo'ladi: bu harakatlarning natijalari salbiy raqamlarsiz, boshqa yo'l bilan olingan javoblarga mos kelishi kerak. Ikkinchidan, manfiy raqamlardan foydalanishga ruxsat berish orqali biz zerikarli (agar tenglama murakkabroq bo'lib chiqsa, ko'p sonli atamalar bilan) barcha harakatlar faqat natural sonlarda bajariladigan echimni izlashdan xalos bo'lamiz. Bundan tashqari, biz endi har safar o'zgartirilgan miqdorlarning ma'nosi haqida o'ylamasligimiz mumkin - va bu allaqachon matematikani mavhum fanga aylantirish uchun qadamdir.

Salbiy raqamlar bilan ishlash qoidalari darhol shakllanmagan, ammo amaliy muammolarni hal qilishda paydo bo'lgan ko'plab misollarning umumlashtirilishiga aylandi. Umuman olganda, matematikaning rivojlanishini bosqichlarga bo'lish mumkin: har bir keyingi bosqich ob'ektlarni o'rganishda oldingisidan yangi abstraktsiya darajasi bilan farq qiladi. Shunday qilib, 19-asrda matematiklar, barcha tashqi farqlariga qaramay, butun sonlar va ko'phadlarning umumiy tomonlari borligini tushunishdi: ikkalasini ham qo'shish, ayirish va ko'paytirish mumkin. Bu amallar bir xil qonunlarga bo'ysunadi - sonlar va ko'phadlar uchun ham. Lekin butun sonlarni bir-biriga bo'lish, natijada yana butun son bo'lish har doim ham mumkin emas. Polinomlar bilan ham xuddi shunday.

Keyin bunday amallarni bajarish mumkin bo'lgan boshqa matematik ob'ektlar to'plamlari topildi: rasmiy darajali qatorlar, uzluksiz funktsiyalar. Va nihoyat, agar siz operatsiyalarning xususiyatlarini o'rgansangiz, natijalar ushbu ob'ektlarning barcha to'plamlariga qo'llanilishi mumkinligi tushunildi (bu yondashuv barcha zamonaviy matematikaga xosdir).

Natijada, yangi tushuncha paydo bo'ldi: uzuk. Bu shunchaki elementlar to'plami va ular ustida bajarilishi mumkin bo'lgan harakatlar. Bu erda asosiy qoidalar qoidalardir (ular deyiladi aksiomalar), to'plam elementlarining tabiati emas, balki harakatlar bo'ysunadigan (bu erda, yangi daraja abstraktsiyalar!). Aynan aksiomalarni kiritgandan so'ng paydo bo'ladigan struktura muhimligini ta'kidlashni istab, matematiklar: butun sonlar halqasi, ko'phadlar halqasi va boshqalarni aytadilar. Aksiomalardan boshlab, halqalarning boshqa xususiyatlarini ham chiqarish mumkin.

Biz halqa aksiomalarini shakllantiramiz (bu, albatta, butun sonlar bilan ishlash qoidalariga o'xshaydi) va keyin har qanday halqada minusni minusga ko'paytirish ortiqcha hosil qilishini isbotlaymiz.

Ring an'anaviy ravishda qo'shish va ko'paytirish deb ataladigan ikkita ikkilik amallar (ya'ni har bir operatsiya halqaning ikkita elementini o'z ichiga oladi) va quyidagi aksiomalardan iborat to'plamdir:

halqa elementlarining qo'shilishi kommutativga bog'liq ( A + B = B + A har qanday elementlar uchun A Va B) va assotsiativ ( A + (B + C) = (A + B) + C) qonunlar; halqada maxsus element 0 (qo'shish orqali neytral element) mavjud, shunday qilib A+0=A, va har qanday element uchun A qarama-qarshi element mavjud (belgilangan (–A)), Nima A + (–A) = 0 ;
Qo'shish va ko'paytirish qavslarni ochish uchun quyidagi qoidalar bilan bog'liq: (A + B) C = A C + B C Va A (B + C) = A B + A C .

Endi biz buni har qanday elementlar uchun isbotlaymiz A Va B ixtiyoriy halqa to'g'ri, birinchidan, (–A) B = –(A B), va ikkinchidan (–(–A)) = A. Bundan osonlik bilan birliklar haqidagi bayonotlar kelib chiqadi: (–1) 1 = –(1 1) = –1 Va (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1 .

Buning uchun biz ba'zi faktlarni aniqlashimiz kerak bo'ladi. Birinchidan, har bir element faqat bitta qarama-qarshilikka ega bo'lishi mumkinligini isbotlaymiz. Aslida, elementga ruxsat bering A ikkita qarama-qarshilik mavjud: B Va BILAN. Ya'ni A + B = 0 = A + C. Keling, miqdorni ko'rib chiqaylik A+B+C. Assotsiativ va kommutativ qonunlar va nol xossasidan foydalanib, biz bir tomondan yig'indiga teng ekanligini olamiz. B : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, va boshqa tomondan, u tengdir C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Ma'nosi, B=C .

Endi shuni ta'kidlaymiz A, Va (–(–A)) bir xil elementning qarama-qarshi tomonlari (–A), shuning uchun ular teng bo'lishi kerak.

Birinchi fakt shunday bo'ladi: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, ya'ni (–A)·B qarama-qarshi A·B, bu teng ekanligini anglatadi –(A B) .

Matematik jihatdan qat'iy bo'lish uchun, keling, sababini ham tushuntirib beraylik 0·B = 0 har qanday element uchun B. Aslida, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Ya'ni, qo'shimcha 0·B miqdorini o'zgartirmaydi. Bu shuni anglatadiki, bu mahsulot nolga teng.

Ringda roppa-rosa bitta nol borligini (axir, aksiomalarda bunday element borligi aytiladi, lekin uning o‘ziga xosligi haqida hech narsa aytilmagan!), biz oddiy mashq sifatida o‘quvchiga qoldiramiz.

Keling, belgilarning asosiy qoidalarini batafsil ko'rib chiqaylik.

Bo'lim.

Ko'paytirish.

Ayirish va qo'shish.

Faqat milodiy VII asrdan boshlab. Manfiy raqamlar ba'zi hisoblash tizimlarida yordamchi miqdorlar sifatida ishlatilgan, bu javobda ijobiy raqamni olish imkonini berdi.

Biz nimani ko'ramiz?

Salbiy raqamlar bilan ishlash bizni faqat ijobiy raqamlar bilan ishlash kabi javobga olib kelishi kerak. Biz endi harakatlarning amaliy imkonsizligi va mazmunliligi haqida o'ylamasligimiz kerak - ular muammoni faqat ijobiy raqamlarga ega bo'lgan shaklga tushirmasdan, muammoni tezroq hal qilishga yordam beradi. Bizning misolimizda biz murakkab hisob-kitoblardan foydalanmadik, lekin agar ko'p sonli atamalar mavjud bo'lsa, salbiy raqamlar bilan hisob-kitoblar bizning ishimizni osonlashtirishi mumkin.

www.site, materialni toʻliq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola kerak boʻladi.

Matematika qonunlari

Aksariyat kattalar o'zlariga yoki farzandlariga nima uchun bu sodir bo'lishini tushuntira olmaydilar. Ular maktabda ushbu materialni qattiq o'zlashtirdilar, lekin bunday qoidalar qaerdan kelganini bilishga ham harakat qilishmadi. Lekin behuda. Ko'pincha, zamonaviy bolalar unchalik ishonuvchan emaslar va ular nima uchun "ortiqcha" va "minus" "minus" berishini tushunishlari kerak. Va ba'zida tomboylar kattalar tushunarli javob bera olmagan paytdan zavqlanish uchun ataylab qiyin savollarni berishadi. Va agar yosh o'qituvchi muammoga duch kelsa, bu haqiqatan ham falokatdir ...

Aytgancha, shuni ta'kidlash kerakki, yuqorida aytib o'tilgan qoida ko'paytirish va bo'lish uchun ham amal qiladi. Salbiy va ijobiy sonning mahsuloti faqat "minus" beradi. Agar biz "-" belgisi bilan ikkita raqam haqida gapiradigan bo'lsak, natijada ijobiy raqam bo'ladi. Xuddi shu narsa bo'linish uchun ham amal qiladi. Agar raqamlardan biri manfiy bo'lsa, u holda bo'linma ham "-" belgisiga ega bo'ladi.

Ring aksiomasi

Bir nechta matematik qonunlar mavjud.

Ulardan birinchisi kommutativ bo'lib, unga ko'ra C + V = V + C.
Ikkinchisi assotsiativ (V + C) + D = V + (C + D) deb ataladi.

Ko'paytirish (V x C) x D = V x (C x D) ham ularga bo'ysunadi.

Qavslar ochiladigan qoidalarni hech kim bekor qilmagan (V + C) x D = V x D + C x D, C x (V + D) = C x V + C x D ekanligi ham haqiqatdir.

Manfiy sonlar uchun aksiomalarni chiqarish

D ning qiymati xuddi shunday tarzda chiqariladi: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Bundan V = D ekanligi ayon bo'ladi.

Shunda 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V ekanligi ayon bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, C x V (-) C x V ga qarama-qarshidir, bu (- C) x V = -(C x V) degan ma'noni anglatadi.

Ushbu aksiomalarning barchasini bilib, siz nafaqat "ortiqcha" va "minus" ning qancha ekanligini, balki salbiy sonlarni ko'paytirishda nima sodir bo'lishini ham aniqlashingiz mumkin.

Ikki raqamni "-" belgisi bilan ko'paytirish va bo'lish

Agar siz matematik nuanslarga chuqur kirmasangiz, manfiy raqamlar bilan ishlash qoidalarini soddaroq tushuntirishga harakat qilishingiz mumkin.

(-C) x (-V) = D, siz ifodaga ikkita bir xil hosilani qo'shishingiz va ayirishingiz mumkin, bu uning qiymatini o'zgartirmaydi: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x) V) = D.

Qavslar bilan ishlash qoidalarini eslab, biz quyidagilarni olamiz:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Bundan kelib chiqadiki, C x V = (-C) x (-V).

Xuddi shunday, ikkita manfiy sonni bo'lish ijobiy songa olib kelishini isbotlash mumkin.

Umumiy matematik qoidalar

Albatta, bunday tushuntirish mavhum salbiy raqamlarni o'rganishni boshlagan boshlang'ich maktab o'quvchilari uchun mos emas. Ular o'zlari tanish bo'lgan oyna ortidagi atamani manipulyatsiya qilib, ko'rinadigan narsalar haqida tushuntirishlari yaxshiroqdir. Masalan, ixtiro qilingan, ammo mavjud bo'lmagan o'yinchoqlar u erda joylashgan. Ular "-" belgisi bilan ko'rsatilishi mumkin. Ikki ko'zgu ob'ektini ko'paytirish ularni boshqa dunyoga o'tkazadi, bu haqiqiyga tenglashtiriladi, ya'ni natijada bizda ijobiy raqamlar mavjud. Ammo mavhum manfiy sonni ijobiyga ko'paytirish faqat hamma uchun tanish bo'lgan natijani beradi. Axir, "ortiqcha" "minus" ga ko'paytirilsa, "minus" beradi. To'g'ri, bolalar barcha matematik nuanslarni tushunishga harakat qilishmaydi.

Garchi haqiqatga duch kelsak, ko'p odamlar uchun, hatto oliy ma'lumotga ega bo'lsa ham, ko'plab qoidalar sir bo'lib qolmoqda. Har bir inson matematika yashirgan barcha murakkabliklarni chuqur o'rganishda qiyinchiliksiz, o'qituvchilar o'rgatadigan narsalarni tabiiy deb biladi. "Minus" uchun "minus" "ortiqcha" beradi - buni hamma biladi. Bu butun va kasr sonlar uchun ham amal qiladi.

Haqiqatan ham, nega? Eng oson javob: "Chunki bu salbiy raqamlar bilan ishlash qoidalari." Biz maktabda o'rganadigan va hayotimiz davomida amal qiladigan qoidalar. Biroq, darsliklarda qoidalar nima uchun shunday ekanligi tushuntirilmagan. Aynan shunday ekanligini eslaymiz va endi savol bermaymiz.

Keling, o'zimizga savol beraylik ...

Uzoq vaqt oldin odamlar faqat natural sonlarni bilishgan: 1, 2, 3, ... Ular idishlarni, o'ljalarni, dushmanlarni va hokazolarni sanash uchun ishlatilgan. Lekin raqamlarning o'zi juda foydasiz - siz ularni boshqarishingiz kerak. Qo'shish tushunarli va tushunarli, bundan tashqari, ikkita natural sonning yig'indisi ham natural sondir (matematik qo'shish amali ostida natural sonlar to'plami yopilgan deb aytadi). Agar natural sonlar haqida gapiradigan bo'lsak, ko'paytirish qo'shish bilan bir xil. Hayotda biz ko'pincha ushbu ikki operatsiya bilan bog'liq harakatlarni bajaramiz (masalan, xarid qilishda biz qo'shamiz va ko'paytiramiz) va ota-bobolarimiz ularga kamroq duch kelgan deb o'ylash g'alati - qo'shish va ko'paytirish insoniyat tomonidan juda uzoq vaqt davomida o'zlashtirilgan. oldin. Ko'pincha siz ba'zi miqdorlarni boshqalarga bo'lishingiz kerak, ammo bu erda natija har doim ham natural son sifatida ko'rsatilmaydi - kasr raqamlari shunday paydo bo'ldi.

Albatta, ayirishsiz ham qilolmaysiz. Lekin amalda biz odatda katta sondan kichikroq sonni ayiramiz va manfiy sonlarni ishlatishning hojati yo'q. (Agar menda 5 ta konfet bo'lsa va opamga 3 tasini bersam, menda 5 - 3 = 2 ta konfet qoladi, lekin men xohlasam ham, unga 7 ta konfet berolmayman.) Bu odamlar nega manfiy raqamlardan foydalanmaganligini tushuntirib berishi mumkin. uzoq vaqt.

Milodiy VII asrdan boshlab Hindiston hujjatlarida manfiy raqamlar paydo bo'lgan; Aftidan, xitoyliklar ulardan biroz oldinroq foydalanishni boshladilar. Ular qarzlarni hisobga olish yoki tenglamalar yechimini soddalashtirish uchun oraliq hisob-kitoblarda ishlatilgan - ular faqat ijobiy javob olish uchun vosita edi. Salbiy raqamlar, ijobiy raqamlardan farqli o'laroq, hech qanday shaxs mavjudligini bildirmasligi kuchli ishonchsizlikni keltirib chiqardi. Odamlar tom ma'noda salbiy raqamlardan qochishdi: agar muammoga salbiy javob bo'lsa, ular umuman javob yo'qligiga ishonishdi. Bu ishonchsizlik juda uzoq davom etdi va hatto zamonaviy matematikaning "asoschilaridan" biri Dekart ularni "yolg'on" deb atagan (17-asrda!).

Masalan, 7x - 17 = 2x - 2 tenglamasini ko'rib chiqing. Buni shunday hal qilish mumkin: noma'lum bilan atamalarni chap tomonga, qolganlarini o'ngga siljiting, siz 7x - 2x = 17 - 2 ni olasiz, 5x = 15, x = 3. Bu bilan Bizning yechimimizda biz hatto manfiy raqamlarga ham duch kelmadik.

Ammo tasodifan buni boshqacha qilish mumkin edi: noma'lum shartlarni o'ng tomonga siljiting va 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x ni oling. Noma'lumni topish uchun bitta manfiy sonni boshqasiga bo'lish kerak: x = (-15)/(-5). Ammo to'g'ri javob ma'lum va (-15)/(-5) = 3 degan xulosaga kelish kerak.

Ushbu oddiy misol nimani ko'rsatadi? Birinchidan, manfiy raqamlar bo'yicha harakatlar qoidalarini aniqlagan mantiq aniq bo'ladi: bu harakatlarning natijalari salbiy raqamlarsiz boshqa yo'l bilan olingan javoblarga to'g'ri kelishi kerak. Ikkinchidan, manfiy raqamlardan foydalanishga ruxsat berish orqali biz zerikarli (agar tenglama murakkabroq bo'lib chiqsa, ko'p sonli atamalar bilan) barcha harakatlar faqat natural sonlarda bajariladigan echimni izlashdan xalos bo'lamiz. Bundan tashqari, biz endi har safar o'zgartirilgan miqdorlarning ma'nosi haqida o'ylamasligimiz mumkin - va bu allaqachon matematikani mavhum fanga aylantirish uchun qadamdir.

Salbiy raqamlar bilan ishlash qoidalari darhol shakllanmagan, ammo amaliy muammolarni hal qilishda paydo bo'lgan ko'plab misollarning umumlashtirilishiga aylandi. Umuman olganda, matematikaning rivojlanishini bosqichlarga bo'lish mumkin: har bir keyingi bosqich ob'ektlarni o'rganishda oldingisidan yangi abstraktsiya darajasi bilan farq qiladi. Shunday qilib, 19-asrda matematiklar, barcha tashqi farqlariga qaramay, butun sonlar va ko'phadlarning umumiy tomonlari borligini tushunishdi: ikkalasini ham qo'shish, ayirish va ko'paytirish mumkin. Bu amallar bir xil qonunlarga bo'ysunadi - sonlar va ko'phadlar uchun ham. Lekin butun sonlarni bir-biriga bo'lish, natijada yana butun son bo'lish har doim ham mumkin emas. Polinomlar bilan ham xuddi shunday.

Keyin bunday amallarni bajarish mumkin bo'lgan boshqa matematik ob'ektlar to'plamlari kashf qilindi: rasmiy darajalar qatorlari, uzluksiz funktsiyalar ... Nihoyat, agar siz operatsiyalarning xususiyatlarini o'rgansangiz, natijalarni keyin hammaga qo'llash mumkin degan tushuncha paydo bo'ldi. ushbu ob'ektlar to'plami (bu yondashuv barcha zamonaviy matematikaga xosdir).

Natijada, yangi tushuncha paydo bo'ldi: uzuk. Bu shunchaki elementlar to'plami va ular ustida bajarilishi mumkin bo'lgan harakatlar. Bu erda asosiylari to'plam elementlarining tabiati emas, balki harakatlar bo'ysunadigan qoidalar (ular aksiomalar deb ataladi) (bu erda mavhumlikning yangi darajasi!). Aynan aksiomalarni kiritgandan so'ng paydo bo'ladigan struktura muhimligini ta'kidlashni istab, matematiklar: butun sonlar halqasi, ko'phadlar halqasi va boshqalarni aytadilar. Aksiomalardan boshlab, halqalarning boshqa xususiyatlarini ham chiqarish mumkin.

Biz halqa aksiomalarini shakllantiramiz (bu, albatta, butun sonlar bilan ishlash qoidalariga o'xshaydi) va keyin har qanday halqada minusni minusga ko'paytirish ortiqcha hosil qilishini isbotlaymiz.

Halqa - bu an'anaviy ravishda qo'shish va ko'paytirish deb ataladigan ikkita ikkilik amallar (ya'ni har bir operatsiya halqaning ikkita elementini o'z ichiga oladi) va quyidagi aksiomalarga ega bo'lgan to'plamdir:

Halqa elementlarini qo‘shish kommutativ (A va B har qanday elementlar uchun A + B = B + A) va kombinatsiya (A + (B + C) = (A + B) + C) qonunlariga bo'ysunadi; halqada A + 0 = A bo'ladigan maxsus element 0 (qo'shish orqali neytral element) mavjud va har qanday A elementi uchun qarama-qarshi element (-A) mavjud bo'lib, A + (-A) = 0 bo'ladi. ;
-ko‘paytirish kombinatsiya qonuniga bo‘ysunadi: A·(B·C) = (A·B)·C;
qo'shish va ko'paytirish qavslarni ochish uchun quyidagi qoidalar bilan bog'liq: (A + B) C = A C + B C va A (B + C) = A B + A C.

Keling, ixtiyoriy halqaning har qanday A va B elementlari uchun bu to'g'ri ekanligini isbotlaylik, birinchidan, (-A) B = -(A B), ikkinchidan (-(-A)) = A. Bu osonlik bilan birliklar haqidagi bayonotlarga amal qiladi. : (-1) 1 = -(1 1) = -1 va (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Buning uchun biz ba'zi faktlarni aniqlashimiz kerak bo'ladi. Birinchidan, har bir element faqat bitta qarama-qarshilikka ega bo'lishi mumkinligini isbotlaymiz. Aslida, A elementi ikkita qarama-qarshilikka ega bo'lsin: B va C. Ya'ni, A + B = 0 = A + C. A + B + C yig'indisini ko'rib chiqing. Assotsiativ va kommutativ qonunlar va nol xususiyatidan foydalanib, biz bir tomondan yig'indi B ga teng: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, boshqa tomondan esa C ga teng: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Shunday qilib, B = C.

E'tibor bering, A va (-(-A)) bir xil elementga (-A) qarama-qarshidir, shuning uchun ular teng bo'lishi kerak.

Birinchi fakt quyidagicha chiqadi: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, ya'ni (-A) B A B ga qarama-qarshi, ya'ni u teng - (A·B).

Matematik jihatdan qat'iy bo'lish uchun, keling, nima uchun har qanday B elementi uchun 0·B = 0 ekanligini tushuntiramiz. Haqiqatan ham, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Ya'ni, 0·B qo'shilishi miqdorni o'zgartirmaydi. Bu shuni anglatadiki, bu mahsulot nolga teng.

Evgeniy Epifanov

Matematika qonunlari

Aksariyat kattalar o'zlariga yoki farzandlariga nima uchun bu sodir bo'lishini tushuntira olmaydilar. Ular maktabda ushbu materialni qattiq o'zlashtirdilar, lekin bunday qoidalar qaerdan kelganini bilishga ham harakat qilishmadi. Lekin behuda. Ko'pincha, zamonaviy bolalar unchalik ishonuvchan emaslar va ular nima uchun "ortiqcha" va "minus" "minus" berishini tushunishlari kerak. Va ba'zida tomboylar kattalar tushunarli javob bera olmagan paytdan zavqlanish uchun ataylab qiyin savollarni berishadi. Va agar yosh o'qituvchi muammoga duch kelsa, bu haqiqatan ham falokatdir ...

Aytgancha, shuni ta'kidlash kerakki, yuqorida aytib o'tilgan qoida ko'paytirish va bo'lish uchun ham amal qiladi. Salbiy va ijobiy sonning mahsuloti faqat "minus" beradi. Agar biz "-" belgisi bilan ikkita raqam haqida gapiradigan bo'lsak, natijada ijobiy raqam bo'ladi. Xuddi shu narsa bo'linish uchun ham amal qiladi. Agar raqamlardan biri manfiy bo'lsa, u holda bo'linma ham "-" belgisiga ega bo'ladi.

Ring aksiomasi

Bir nechta matematik qonunlar mavjud.

Ulardan birinchisi kommutativ bo'lib, unga ko'ra C + V = V + C.
Ikkinchisi assotsiativ (V + C) + D = V + (C + D) deb ataladi.

Ko'paytirish (V x C) x D = V x (C x D) ham ularga bo'ysunadi.

Qavslar ochiladigan qoidalarni hech kim bekor qilmagan (V + C) x D = V x D + C x D, C x (V + D) = C x V + C x D ekanligi ham haqiqatdir.

Manfiy sonlar uchun aksiomalarni chiqarish

D ning qiymati xuddi shunday tarzda chiqariladi: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Bundan V = D ekanligi ayon bo'ladi.

Shunda 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V ekanligi ayon bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, C x V (-) C x V ga qarama-qarshidir, bu (- C) x V = -(C x V) degan ma'noni anglatadi.

Ushbu aksiomalarning barchasini bilib, siz nafaqat "ortiqcha" va "minus" ning qancha ekanligini, balki salbiy sonlarni ko'paytirishda nima sodir bo'lishini ham aniqlashingiz mumkin.

Ikki raqamni "-" belgisi bilan ko'paytirish va bo'lish

Agar siz matematik nuanslarga chuqur kirmasangiz, manfiy raqamlar bilan ishlash qoidalarini soddaroq tushuntirishga harakat qilishingiz mumkin.

(-C) x (-V) = D, siz ifodaga ikkita bir xil hosilani qo'shishingiz va ayirishingiz mumkin, bu uning qiymatini o'zgartirmaydi: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x) V) = D.

Qavslar bilan ishlash qoidalarini eslab, biz quyidagilarni olamiz:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Bundan kelib chiqadiki, C x V = (-C) x (-V).

Xuddi shunday, ikkita manfiy sonni bo'lish ijobiy songa olib kelishini isbotlash mumkin.

Umumiy matematik qoidalar

Albatta, bu tushuntirish mavhum salbiy raqamlarni o'rganishni boshlagan boshlang'ich maktab o'quvchilari uchun mos emas. Ular o'zlari tanish bo'lgan oyna ortidagi atamani manipulyatsiya qilib, ko'rinadigan narsalarga tushuntirishlari yaxshiroqdir. Masalan, ixtiro qilingan, ammo mavjud bo'lmagan o'yinchoqlar u erda joylashgan. Ular "-" belgisi bilan ko'rsatilishi mumkin. Ikki ko'zgu ob'ektini ko'paytirish ularni boshqa dunyoga o'tkazadi, bu haqiqiyga tenglashtiriladi, ya'ni natijada bizda ijobiy raqamlar mavjud. Ammo mavhum manfiy sonni ijobiyga ko'paytirish faqat hamma uchun tanish bo'lgan natijani beradi. Axir, "ortiqcha" "minus" ga ko'paytirilsa, "minus" beradi. To'g'ri, bolalar barcha matematik nuanslarni tushunishga harakat qilishmaydi.

Yangi yil uchun deraza bezaklari uchun ajoyib va bayramona stencils

Katta o'lchamdagi odamlar uchun palto - to'liq raqam uchun zamonaviy modelni qanday tanlash kerak

Sevgili juftliklar orasida jinsiy nomuvofiqlik yo'q

Har bir kengaytma turi 100 gramm soch qancha turadi, qancha kapsula