Distribuție indicativă grafică. DISTRIBUȚIA CONDUCERILOR INDICATIVE (EXPONENȚIENȚIE)

Așa cum am menționat mai devreme, exemple de distribuții de probabilitate variabila aleatorie continuă X sunt:

  • distribuția uniformă a probabilităților unei variabile aleatorii continue;
  • distribuția indicativă a probabilităților unei variabile aleatorii continue;
  • distributie normala probabilitățile unei variabile aleatorii continue.

Vom da conceptul de legi uniforme și orientative de distribuție, formula de probabilitate și caracteristicile numerice ale funcțiilor luate în considerare.

IndicatorDreptul distribuției ranlodorne.Dreptul de distribuție orientativă.
Definiție Numit uniform Distribuția probabilităților unei variabile aleatorii continue X, a cărei densitate păstrează o valoare constantă pe segment și are Indicativ (exponențial) numit Distribuția probabilităților unei variabile aleatorii continue X, care este descrisă de densitatea având o vedere

unde λ este o valoare pozitivă constantă
Funcția de distribuție
Probabilitate Lovirea intervalului
Valorea estimata
Dispersie
Deviația mediedratica medie

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema "Legile uniforme și indicative ale distribuției"

Sarcina 1.

Autobuzele sunt strict programate. Intervalul de mișcare 7 min. Găsiți: a) probabilitatea ca pasagerul să se apropie de opritor să se aștepte la un alt autobuz mai mic de două minute; b) probabilitatea ca pasagerul să se apropie de oprire să se aștepte la un alt autobuz cel puțin trei minute; c) Așteptările matematice și deviația medie patrată a variabilei aleatorie X este timpul de așteptare al pasagerilor.

Decizie. 1. Prin starea problemei, valoarea continuă aleatorie x \u003d (timpul de așteptare pentru pasageri) distribuit uniform Între sosirea a două autobuze. Lungimea intervalului de distribuție a variabila aleatorie X este egală cu B - A \u003d 7, unde a \u003d 0, B \u003d 7.

2. Timpul de așteptare va fi mai mic de două minute dacă valoarea aleatorie X intră în intervalul (5; 7). Probabilitatea de a intra în intervalul specificat va fi găsită prin formula: P (x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P (5.< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Timpul de așteptare va fi cel puțin trei minute (adică de la trei la șapte minute) dacă valoarea aleatorie X se încadrează în intervalul (0; 4). Probabilitatea de a intra în intervalul specificat va fi găsită prin formula: P (x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P (0.< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Așteptarea matematică a unei variabile aleatorii aleatorii continue, distribuite uniform, x - timpul de așteptare al pasagerului, vom găsi prin formula: M (x) \u003d (a + b) / 2. M (x) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3,5.

5. Abaterea medie patrată a unei variabile aleatorii aleatorii continue, distribuite uniform, a pasagerului, vom găsi prin formula: Σ (x) \u003d √d \u003d (b-a) / 2√3. Σ (x) \u003d (7-0) / 2√3 \u003d 7 / 2√3≈2.02.

Sarcina 2.

Distribuția indicativă este setată la x ≥ 0 densitate f (x) \u003d 5e - 5x. Necesar: a) scrieți o expresie pentru funcția de distribuție; b) să găsească probabilitatea ca ca rezultat al testului să intre în intervalul (1; 4); c) găsiți probabilitatea ca ca rezultat al testului x ≥ 2; d) Calculați m (x), d (x), σ (x).

Decizie. 1. Deoarece sub condiția este stabilită distribuția indicativă , de la formula de densitate a distribuției probabilității variabilei aleatorii x obținem λ \u003d 5. Apoi funcția de distribuție va arăta:

2. Probabilitatea ca, ca urmare a testelor să intre în intervalul (1; 4), se va găsi prin formula:
P (A.< X < b) = e −λa − e −λb .
P (1.< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Probabilitatea ca ca rezultat al testului x ≥ 2 să se găsească cu formula: P (a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P (x≥2) \u003d P (1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Găsiți pentru distribuția indicativă:

  • așteptări matematice conform formulei M (x) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 0,2;
  • dispersie cu formula D (x) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
  • deviația medie patrată cu formula σ (x) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 1.2.

Definiție. Indicativ (exponențial)distribuția probabilităților unei variabile aleatorii continue X, care este descrisă de densitate

unde sunt un număr pozitiv.

Noi găsim legea distribuției.

Funcția de distribuție a graficelor și densitatea distribuției:

f (x) f (x)

Considerăm așteptările matematice a unei subordonate variabile aleatoare distribuției indicative.

Rezultatul a fost obținut folosind faptul că

Pentru a găsi dispersia, găsim magnitudinea m (x 2).

Prin integrarea de două ori în părți, similare cu cazul luate în considerare, obținem:

Atunci

Total: Se poate observa că, în cazul unei distribuții orientative, așteptările matematice și deviația medie patrată este egală.

Este, de asemenea, ușor de determinat și probabilitatea unei subordonate variabile aleatorie la dreptul de distribuție orientativă într-un anumit interval.

Distribuția indicativă este utilizată pe scară largă în teoria fiabilității.

PresupuneUn anumit dispozitiv începe să lucreze în momentul timpului t 0 \u003d 0, și după ceva timp t. Dispozitivul eșuează.

Denota T. variabila aleatorie continuă - durata funcționării fără probleme a dispozitivului.

Prin urmare cale, Funcția de distribuție F (t) \u003d p (t Determină probabilitatea refuzului în timpul timpului t..

Probabilitate opus evenimente(Lucrare fără probleme în timp t.) Egal R (t) \u003d p (t\u003e t) \u003d 1 - f (t).

Definiție. Funcția de fiabilitateR (t) Apelați o funcție care determină probabilitatea de a funcționa fără probleme a dispozitivului în timp T..

De multe ori pe practică Durata funcționării fără probleme este supusă legii orientative de distribuție.

Deloc vorbitor, în cazul în care un Luați în considerare un dispozitiv nou, probabilitatea refuzului la începutul funcționării sale va fi mai mare, atunci numărul de eșecuri va scădea și va exista aproape aceeași valoare de ceva timp. Apoi (când dispozitivul își generează resursele), numărul de eșecuri va crește.

Alte in cuvinte, Se poate spune că funcționarea dispozitivului pe întreaga existență (în sensul numărului de eșecuri) poate fi descrisă printr-o combinație de două legi demonstrative (la începutul și sfârșitul funcționării) și legea uniformă de distribuție .

Funcția de fiabilitate pentru orice dispozitiv cu legea privind distribuția orientativă este egală cu:

Acest raport este numit legea privind fiabilitatea indicativă.

O proprietate importantăPermiterea semnificativă a soluționării sarcinilor teoriei fiabilității, este faptul că probabilitatea de funcționare fără probleme a dispozitivului la intervalul de timp t. Nu depinde de timpul lucrărilor anterioare înainte de începerea intervalului în cauză și depinde doar de durata timpului t..

Prin urmare cale, Funcționarea fără probleme a dispozitivului depinde doar de intensitatea de defecțiuni L și nu depinde de funcționarea fără probleme a dispozitivului în trecut.


Ca o proprietate similară are Doar legea privind distribuția orientativă, atunci acest fapt ne permite să determinăm dacă legea distribuției unei variabile aleatorii este indicativă sau nu.

2.8 Distribuția "chi-pătrat"

Fie x i (i \u003d 1,2, ..., n) - variabile normale aleatorii independente, iar așteptările matematice ale fiecăruia dintre ele este zero, iar abaterea medie patrată este unitatea. Apoi suma pătratelor acestor valori

distribuit în conformitate cu legea ("chi-pătrat") cu k \u003d n grade de libertate; Dacă aceste valori sunt asociate cu un raport liniar, de exemplu, numărul de grade de libertate k \u003d n-1.

Densitatea acestei distribuții

unde -Gamma funcția; în special,

De aici este văzutcă distribuția "chi-pătrat" \u200b\u200beste determinată de un parametru - numărul de grade de libertate k. Cu o creștere a numărului de grade de libertate, distribuția se apropie încet.

2.9 Distribuția studenților

Fie Z, să fie o valoare aleatorie anormală și m (z) \u003d 0, s (z) \u003d 1 și independentă de valoarea Z, care este distribuită prin lege cu grade de libertate. Apoi valoarea

are o distribuție care se numește t-distribuție sau distribuție a elevului, gradele de libertate. Astfel încât raportul dintre magnitudinea normalizată normalizată față de rădăcina pătrată dintr-o variabilă aleatorie independentă distribuită prin lege

« Chi-pătrat "cu grade de libertateîmpărțită de k, împărțită de K distribuită sub legea studentului cu grade de libertate. . Cu o creștere a numărului de grade de libertate, distribuția se apropie încet.

2.9 Legea normală de distribuție

Definiție. Normalnumită distribuirea probabilităților unei variabile aleatorii continue, care este descrisă de densitatea probabilității

Legea normală de distribuție se numește și Legea lui Gauss.

Legea normală de distribuție ocupă un loc central în teoria probabilității. Acest lucru se datorează faptului că această lege se manifestă în toate cazurile în care o valoare aleatorie este rezultatul unui număr mare de factori diferiți. Toate celelalte legi de distribuție se apropie de legea normală.

Poate sa uşor spectacolAcești parametri și densitatea de distribuție sunt, respectiv, așteptările matematice și deviația medie patrată a variabilei aleatorie X.

Găsiți funcția de distribuție F (x).

Un grafic al densității distribuției normale se numește curbă normală sau curbă Gauss.

Curba normală are următoarele proprietăți:

1 ) Funcția este definită pe întreaga axă numerică.

2 ) Deloc h. Funcția de distribuție ia doar valori pozitive.

3 ) Axa Oh este asimptota orizontală a programului de densitate a probabilității, deoarece cu o creștere nelimitată a valorii absolute a argumentului h.Valoarea funcției se străduiește pentru zero.

4 ) Găsim funcția extremum.

pentru că pentru y '\u003e 0 pentru x.< m și y '< 0 pentru x\u003e M. Apoi, la punct x \u003d t. Funcția are o valoare maximă egală.

5 ) Funcția este simetrică cu privire la direcție x \u003d A.deoarece diferență

(x - A.) Inclus în funcția de densitate a distribuției în piață.

6 ) Pentru a găsi punctele de testare ale graficului, găsim cel de-al doilea derivat al funcției de densitate.

Pentru x \u003d M. + S I. x \u003d M. - S Cel de-al doilea derivat este zero și când trecerea prin aceste puncte schimbă semnul, adică. În aceste puncte, funcția are o inflexie.

Valoarea aleatorie continuă are exponențială (exponențială ) Legea distribuției cu parametrul dacă este densitatea sa de probabilitate:

(12.1)

Iată o valoare pozitivă constantă. Asa de Distribuția indicativă este determinată de un parametru pozitiv . Găsiți funcția integrat a distribuției indicative:

(12.3)

Smochin. 12.1. Funcția diferențială a distribuției orientative ()

Smochin. 12.2. Funcția integrală a distribuției orientative ()

Caracteristicile numerice ale distribuției indicative

Calculăm așteptările matematice și dispersia distribuției indicative:

Pentru a calcula dispersia, folosim una din proprietățile sale:

pentru că , rămâne de calculat:

Înlocuirea (12,6) în (12,5), în cele din urmă obținem:

(12.7)

Pentru o variabilă aleatorie, distribuită în conformitate cu legea indicativă, așteptările matematice este egală cu abaterea medie patrată.

Exemplul 1.Scrieți o funcție diferențială și integrată a distribuției indicative dacă parametrul.

Decizie. a) Densitatea distribuției este:

b) Funcția integrală corespunzătoare este egală cu:

Exemplul 2.Găsiți probabilitatea de a introduce intervalul specificat pentru SV, distribuit în conformitate cu legea exponențială.

Decizie. Vom găsi o decizie, amintindu-ne că :. Luând în considerare acum (12.3) obținem:

Funcția de fiabilitate

Vom numi elementul un dispozitiv, indiferent de acel "simplu" sau "complex". Lăsați elementul să înceapă să lucreze la momentul timpului și după expirarea timpului apare eșecul. Denotă prin SV continuu - durata timpului de funcționare fără probleme a elementului. Dacă elementul funcționează corect (înainte de eșec), timpul mai mic decât, prin urmare, în timpul duratei, eșecul va veni. În acest fel, probabilitatea de refuz Durata este determinată de funcția Integrală:

. (12.8)

Apoi, probabilitatea de funcționare fără probleme, în același timp, durabilitatea este egală cu probabilitatea evenimentului opus, adică.

Funcția de fiabilitate Apelați o funcție care determină probabilitatea de funcționare fără probleme a elementului în timpul duratei.

Adesea durata perioadei de funcționare fără probleme a elementului are o distribuție demonstrativă, a cărui funcție integrat este egală cu:

. (12.10)

Apoi, în cazul unei distribuții orientative a timpului de funcționare fără probleme a elementului și luând în considerare (12,9), funcția de fiabilitate va fi egală cu:

. (12.11)

Exemplul 3.Timpul de funcționare fără probleme a elementului este distribuit în ceea ce privește legea indicativă. la (ora ceasului). Găsiți probabilitatea ca elementul să funcționeze în mod necesar 100 de ore.

Decizie. În exemplul nostru, atunci folosim (12.11):

Legea demonstrației de fiabilitate este foarte simplă și convenabilă pentru rezolvarea sarcinilor practice. Această lege are următoarea proprietate importantă:

Probabilitatea de a funcționa fără probleme a elementului în intervalul de timp nu depinde de timpul lucrării anterioare înainte de începerea intervalului în cauză și depinde doar de durata timpului(pentru o intensitate de defecțiune dată).

Să dovedim această proprietate introducând următoarea notație:

funcționarea fără probleme a elementului pe durata intervalului;

Apoi, evenimentul este că elementul nu funcționează fără rost pe durata intervalului. Găsiți probabilitățile acestor evenimente prin formula (12.11), crezând că timpul funcționării fără probleme a elementului este subordonat prin legea orientativă:

Vom găsi probabilitatea condiționată ca elementul să lucreze în mod obișnuit la intervalul de timp, cu condiția ca acesta să lucreze deja pentru intervalul de timp fără probleme:

(12.13)

Vedem că formula rezultată nu depinde, ci numai de la. Compararea (12.12) și (12.13) se poate concluziona că probabilitatea condiționată de funcționare fără probleme a elementului de pe intervalul de durată calculată sub ipoteza că elementul a lucrat fără probleme la intervalul anterior este egal cu probabilitatea necondiționată.

Deci, în cazul legiului indicativ al fiabilității, lucrarea fără probleme a elementului "în trecut" nu afectează amploarea probabilității muncii sale fără probleme "în viitorul apropiat".


Elemente de combinatoare

Spațiul evenimentelor elementare. Evenimente aleatoare.

Probabilitate

Conceptul modern de probabilitate

Schema de probabilitate clasică

Probabilități geometrice

Legea adăugării probabilităților

Teorema de multiplicare a probabilității

Formula Probabilitate completă

Ipoteze teoreme. Formula Bayes.

Repetați testele. Schema Bernoulli.

LOREA LOREA THEOOREM

Integral Theorem Moorem Laplace

Poisson Teorem (Legea evenimentelor rare)

Variabile aleatoare

Funcții de distribuție

Valoare continuă și densitate de distribuție continuă

Proprietățile principale ale densității de distribuție

Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorie unic dimensionale

Proprietățile așteptărilor matematice

Momente ale variabilelor aleatorii

Proprietățile dispersiei

Asimetrie și exces

Variabile aleatoare multidimensionale

Proprietățile funcției de distribuție bilimendă

Densitatea probabilității unei variabile aleatorie bidimensionale

Task Buffon.

Densitatea de distribuție condiționată

Caracteristicile numerice ale unui sistem de variabile aleatorii

Proprietățile coeficientului de corelație

Distribuția legală (Gauss)

Probabilitatea intervalului

Proprietățile funcției normale de distribuție

Distribuție ("chi-pătrat")

DISTRIBUȚIA CONDUCERILOR INDICATIVE (EXPONENȚIENȚIE)

Caracteristicile numerice ale distribuției indicative

Funcția de fiabilitate

Distribuție exponențială (indicativă)

Luați în considerare familia de distribuții, utilizate pe scară largă la luarea deciziilor de management și a altor studii aplicate - o familie de distribuții exponențiale. Să analizăm probabilitatea probabilistă! Modelul care duce la astfel de distribuții. Pentru a face acest lucru, luați în considerare "fluxul evenimentului", adică. Secvența evenimentelor care apar unul după altul la un moment dat. Exemplele pot servi: timpul de funcționare fără probleme a sistemului informatic, intervalul dintre încasările coerente ale autoturismelor la linia Ston a intersecției, fluxul de apeluri ale clienților la sucursala băncii; fluxul de cumpărători care contactează bunurile și serviciile; Fluxul de apel la schimbul de telefon; Fluxul defecțiunilor echipamentului în lanțul tehnologic etc.

În teoria evenimentelor, teorema de sumare a evenimentelor este valabilă. Fluxul total constă dintr-un număr mare de fluxuri private independente, dintre care nici unul nu are un efect predominant asupra fluxului total. Astfel, fluxul de apeluri care intră în schimbul de telefon constă dintr-un număr mare de provocări independente care provin de la abonați individuali. În cazul în care caracteristicile fluxului nu depind de timp, debitul total este descris complet de un număr X - Intensitatea fluxului. Pentru fluxul total, funcția de distribuție variabilă aleatorie X - Durata timpului dintre evenimentele consistente are următoarea formă:

Această distribuție se numește o distribuție exponențială (indicativă). În această caracteristică, este introdus uneori parametrul Shift.

Distribuția exponențială are un singur parametru, care determină caracteristicile sale. Densitatea distribuției este după cum urmează:

unde X - Valoare pozitivă permanentă.

Funcția de programare / (X) Prezentat în fig. 9.12.

Smochin. 9.12.

În fig. 9.13 prezintă un grafic al densității distribuției exponențiale cu parametri diferiți X.

Distribuția exponențială caracterizează distribuția timpului între evenimentele independente care apar cu intensitate constantă. Legea exponențială este caracteristică distribuției variabilelor aleatorii, a cărei schimbare se datorează influenței unui fel de factor dominant. În teoria fiabilității, această distribuție descrie distribuția de eșecuri bruște, deoarece acestea din urmă sunt evenimente rare. Distribuția exponențială servește, de asemenea, pentru a descrie


Smochin. 9.13. Densitatea distribuției exponențiale cu parametri diferiți X.

evoluțiile sistemelor complexe care au trecut perioada de muncă și pentru a descrie timpul de funcționare fără probleme a sistemului cu un număr mare de elemente conexe secvențial, fiecare dintre acestea nu are un mare efect asupra eșecului sistemului.

Frecvențele teoretice pentru legea exponențială de distribuție sunt determinate de formula

unde N. - valoarea totalității; 1G K. - lungimea intervalului; e. - baza logaritmului natural; X. - Abaterile condiționate ale clasei de seot:

Luați în considerare alinierea distribuției empirice (tabelul 9.4) în conformitate cu legea exponențială.

Tabelul 9.4.

Frecvențele empirice pentru egalizarea distribuției prin lege exponențială

Avea N \u003d 160; B \u003d. 41; x \u003d. 54.59. Calculul valorilor abaterilor condiționate de mijlocul clasei, valorile auxiliare e. _1 și frecvențele teoretice sunt fabricate în tabel. 9.5.

Tabelul 95.

Alinierea frecvențelor empirice în conformitate cu legea exponențială

Date empirice h.

Frecvență empirică, t.

Frecvențe teoretice

Frecvențele empirice și teoretice ale distribuției exponențiale vor fi prezentate grafic în fig. 9.14.

Distribuția indicativă este un caz special al distribuției de la Waibulla (corespunzătoare valorii parametrului valorii b \u003d. 1).

Exemplu de fișier

Luați în considerare distribuția exponențială, calculăm așteptările sale matematice, dispersia, mediană. Utilizarea funcției MS Excel EXP. SP (), Construim grafice ale funcției de distribuție și densitatea probabilității. Să generăm o serie de numere aleatorii și să evaluăm parametrul de distribuție.

(eng. Exponențială Distribuție) Este adesea folosit pentru a calcula timpul de așteptare între evenimente aleatorii. Următoarele descrie situațiile atunci când este posibil Distribuția exponențială :

  • Intervale între apariția vizitatorilor în cafenea;
  • Intervalele funcționării normale a echipamentului între aspectul defecțiunilor (apar defecțiuni apar datorită influențelor externe aleatorii și nu din cauza uzurii, vezi);
  • Costurile de timp pentru servirea unui cumpărător.

Generarea numerelor aleatorii

Pentru a genera o serie de numere distribuite de Legea exponențială , puteți utiliza formula \u003d -LN (adezi ()) / λ

Funcția adezivă () generează de la 0 la 1, care corespunde doar intervalul de schimbare a probabilității (a se vedea Exemplu de dosar Generarea frunzei).

Dacă numerele aleatoare sunt conținute în intervalul B14: B213. , apoi estimați parametrul Distribuția exponențială λ Se poate face folosind formula \u003d 1 / srvnold (B14: B213).

Sarcini

Distribuția exponențială Este utilizat pe scară largă într-o astfel de disciplină ca tehnologie de fiabilitate (inginerie de fiabilitate). Parametru λ numit. Intensitatea eșecului , dar 1/ λ – Timp mediu pentru refuz .

Să presupunem că componenta electronică a unui anumit sistem are o viață utilă, descrisă Distribuția exponențială din intensitatea refuzului egal cu 10 ^ (- 3) pe oră, deci λ = 10^(-3). Timp mediu pentru refuz La fel de 1000 de ore. Pentru a calcula probabilitatea ca componenta să nu reușească Timp mediu la eșec Că trebuie să înregistrați formula:

Acestea. Rezultatul nu depinde de parametru λ .

În MS Excel, soluția arată astfel: \u003d Exp. ASP (10 ^ 3; 10 ^ (- 3); Adevărul)

O sarcină . Timp mediu pentru refuz Există o anumită componentă 40 de ore. Găsiți probabilitatea ca componenta să refuze între 20 și 30 de ore de muncă. \u003d Exp. Spp (30; 1/40; adevăr) - exp. ASP (20; 1/40; Adevăr)

Consiliu : Pe alte distribuții MS Excel pot fi găsite în articol.