घातीय वितरण ग्राफ। घातीय (घातांक) वितरण कानून

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, संभावना वितरण के उदाहरण सतत यादृच्छिक चर X हैं:

  • एक सतत यादृच्छिक चर की संभावनाओं का समान वितरण;
  • एक सतत यादृच्छिक चर का घातीय संभाव्यता वितरण;
  • सामान्य वितरण एक सतत यादृच्छिक चर की संभावनाएं।

आइए, हम विचाराधीन कार्यों के समान और घातीय वितरण कानूनों, संभाव्यता सूत्रों और संख्यात्मक विशेषताओं की अवधारणा दें।

सूचीअनुपात वितरण कानूनघातीय वितरण कानून
परिभाषा यूनिफॉर्म कहा जाता है एक सतत यादृच्छिक चर X की प्रायिकता वितरण, जिसका घनत्व एक खंड पर स्थिर रहता है और इसका रूप होता है घातांक (घातांक) कहा जाता है एक सतत यादृच्छिक चर X की प्रायिकता वितरण, जिसे प्रपत्र के घनत्व द्वारा वर्णित किया गया है

जहां λ एक निरंतर सकारात्मक मूल्य है
वितरण समारोह
संभावना अंतराल मारना
अपेक्षित मूल्य
फैलाव
मानक विचलन

"यूनिफॉर्म और एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन कानूनों" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

उद्देश्य 1।

बसें निर्धारित समय पर सख्ती से चलती हैं। आंदोलन का अंतराल 7 मिनट है। खोजें: क) संभावना है कि स्टॉप पर पहुंचने वाला यात्री दो मिनट से कम समय में अगली बस का इंतजार करेगा; ख) संभावना है कि स्टॉप पर आने वाला यात्री कम से कम तीन मिनट के लिए अगली बस का इंतजार करेगा; ग) यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन - यात्री की प्रतीक्षा समय।

फेसला। 1. समस्या कथन द्वारा, एक सतत यादृच्छिक चर X \u003d (यात्री प्रतीक्षा समय) एक समान वितरित दो बसों के आगमन के बीच। यादृच्छिक चर X के वितरण अंतराल की लंबाई b-a \u003d 7 के बराबर है, जहां a \u003d 0, b \u003d 7 है।

2. यदि यादृच्छिक चर X अंतराल (5; 7) में आता है, तो प्रतीक्षा समय दो मिनट से कम होगा। किसी दिए गए अंतराल को मारने की संभावना सूत्र द्वारा पाई गई है: पी (एक्स 1)<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
पी (5)< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. प्रतीक्षा समय कम से कम तीन मिनट (यानी, तीन से सात मिनट) होगा, अगर यादृच्छिक चर एक्स अंतराल (0; 4) में आता है। किसी दिए गए अंतराल को मारने की संभावना सूत्र द्वारा पाई गई है: पी (एक्स 1)<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P (0)< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. एक सतत, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा - यात्री के प्रतीक्षा समय, सूत्र द्वारा पाया जाता है: M (X) \u003d (a + b) / 2... एम (एक्स) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5।

5. एक समान, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर X का मतलब वर्ग विचलन - यात्री के प्रतीक्षा समय, सूत्र द्वारा पाया जाता है: \u003d (एक्स) \u003d √D \u003d (बी-ए) / 2 .3... \u003d (X) \u003d (7-0) / 2 \u003d3 \u003d 7 / 2≈3.022.02।

उद्देश्य २।

घातांक वितरण x on 0 के लिए घनत्व f (x) \u003d 5e - 5x के साथ दिया गया है। यह आवश्यक है: ए) वितरण समारोह के लिए एक अभिव्यक्ति लिखने के लिए; बी) संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्स अंतराल (1; 4) में गिर जाता है; ग) परीक्षण X; 2 के परिणामस्वरूप संभावना को खोजें; d) M (X), D (X), X (X) की गणना करें।

फेसला। 1. चूंकि शर्त निर्धारित है घातांकी रूप से वितरण , फिर यादृच्छिक चर X की संभाव्यता वितरण घनत्व के लिए सूत्र से हम λ \u003d 5. प्राप्त करते हैं, फिर वितरण फ़ंक्शन का रूप होगा:

2. संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X अंतराल में गिरता है (1; 4) सूत्र द्वारा पाया जाएगा:
पी (ए< X < b) = e −λa − e −λb .
पी (1)< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. संभावना है कि परीक्षण X will 2 के परिणामस्वरूप हम सूत्र द्वारा पाएंगे: P (a)< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P (X )2) \u003d P (1)< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. घातांक वितरण के लिए खोजें:

  • सूत्र M (X) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 0.2 के अनुसार गणितीय अपेक्षा;
  • सूत्र D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0.04 के अनुसार फैलाव;
  • सूत्र के अनुसार मानक विचलन σ (X) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 1.2।

परिभाषा। घातांक (घातीय)एक सतत यादृच्छिक चर X की संभावना वितरण है, जो घनत्व द्वारा वर्णित है

जहां एल एक सकारात्मक संख्या है।

चलो वितरण कानून पाते हैं।

वितरण समारोह और वितरण घनत्व के भूखंड:

f (x) F (x)

चलिए घातीय वितरण के लिए एक यादृच्छिक चर विषय की गणितीय अपेक्षा खोजें।

परिणाम इस तथ्य का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है कि

विचरण को खोजने के लिए, हम M (X 2) का मान पाते हैं।

दो बार भागों द्वारा एकीकृत, इसी तरह के मामले में, हम प्राप्त करते हैं:

फिर

कुल: यह देखा जा सकता है कि एक घातांक वितरण के मामले में, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन समान हैं।

इस संभावना को निर्धारित करना भी आसान है कि एक यादृच्छिक चर, एक घातीय वितरण कानून के अधीन, एक दिए गए अंतराल के भीतर आता है।

घातांक वितरण व्यापक रूप से विश्वसनीयता सिद्धांत में उपयोग किया जाता है.

मान लेते हैं, कुछ डिवाइस इस समय काम करना शुरू कर देता है टी 0 \u003d 0, और थोड़ी देर बाद टी डिवाइस विफल रहता है।

हम निरूपित करते हैं टी निरंतर यादृच्छिक चर - डिवाइस के अपटाइम की अवधि।

इसलिए मार्ग, वितरण समारोह एफ (टी) \u003d पी (टी) एक समय अवधि में विफलता की संभावना निर्धारित करता है टी.

संभावना विलोम आयोजन(समय के साथ परेशानी मुक्त संचालन टी) के बराबर है आर (टी) \u003d पी (टी\u003e टी) \u003d 1 - एफ (टी)।

परिभाषा। विश्वसनीयता समारोहआर (टी) एक ऐसा कार्य है जो समय के साथ डिवाइस के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना को निर्धारित करता है टी.

अक्सर पर अभ्यास uptime एक घातीय वितरण कानून के अधीन है।

बिल्कुल भी बोला जा रहा है, अगर एक नए उपकरण पर विचार करें, फिर इसके संचालन की शुरुआत में विफलता की संभावना अधिक होगी, फिर विफलताओं की संख्या घट जाएगी और कुछ समय के लिए व्यावहारिक रूप से समान मूल्य होगा। तब (जब डिवाइस सेवा से बाहर हो जाता है) विफलताओं की संख्या बढ़ जाएगी।

अन्य शब्दों में, हम कह सकते हैं कि पूरे अस्तित्व में एक उपकरण का संचालन (विफलताओं की संख्या के संदर्भ में) दो घातीय कानूनों (ऑपरेशन की शुरुआत और अंत में) और एक समान वितरण कानून के संयोजन द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

एक घातांक वितरण कानून के साथ किसी भी उपकरण के लिए विश्वसनीयता समारोह है:

इस अनुपात को कहा जाता है विश्वसनीयता का घातीय कानून.

एक महत्वपूर्ण संपत्ति, जो विश्वसनीयता के सिद्धांत की समस्याओं के समाधान को महत्वपूर्ण रूप से सरल बनाना संभव बनाता है, यह है कि समय अंतराल पर डिवाइस के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना। टी माना अंतराल की शुरुआत से पहले पिछले काम के समय पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन केवल समय की लंबाई पर निर्भर करता है टी.

इसलिए मार्गडिवाइस का विफलता-मुक्त संचालन केवल विफलता दर l पर निर्भर करता है और अतीत में डिवाइस के विफलता-मुक्त संचालन पर निर्भर नहीं करता है।


चूंकि एक समान संपत्ति के पास है केवल एक घातीय वितरण कानून, यह तथ्य आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि यादृच्छिक चर का वितरण कानून घातीय है या नहीं।

2.8 ची-वर्ग वितरण

आइए X i (i \u003d 1,2, ..., n) - सामान्य स्वतंत्र यादृच्छिक चर, और उनमें से प्रत्येक की गणितीय अपेक्षा शून्य है, और मानक विचलन एक है। फिर इन राशियों के वर्ग का योग

स्वतंत्रता के k \u003d n डिग्री के साथ कानून ("ची-स्क्वायर") के अनुसार वितरित; यदि ये मात्राएँ एक रैखिक संबंध से संबंधित हैं, उदाहरण के लिए, तो स्वतंत्रता k \u003d n-1 की डिग्री की संख्या।

इस वितरण का घनत्व

कहाँ पे -गम्मा समारोह; विशेष रूप से,

यहां से यह देखा गया हैकि ची-स्क्वायर वितरण एक पैरामीटर द्वारा निर्धारित किया जाता है - स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या। स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या में वृद्धि के साथ, वितरण धीरे-धीरे सामान्य हो जाता है।

2.9 विद्यार्थी का वितरण

आज्ञा देना Z एक सामान्य यादृच्छिक चर है, जहां M (Z) \u003d 0, s (Z) \u003d 1, और V Z से स्वतंत्र मूल्य है, जो स्वतंत्रता के k डिग्री के साथ कानून के अनुसार वितरित किया जाता है। फिर मात्रा

एक वितरण जिसे टी-डिस्ट्रीब्यूशन या स्टूडेंटस डिस्ट्रीब्यूशन, k डिग्री ऑफ फ्रीडम कहते हैं। तो कानून के अनुसार वितरित एक स्वतंत्र यादृच्छिक चर के वर्गमूल के सामान्य सामान्य मूल्य का अनुपात

« ची-वर्ग "स्वतंत्रता की k डिग्री के साथk द्वारा विभाजित k द्वारा छात्र की स्वतंत्रता के k डिग्री के साथ छात्र के कानून के अनुसार वितरित। ... स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या में वृद्धि के साथ, वितरण धीरे-धीरे सामान्य हो जाता है।

2.9 सामान्य वितरण कानून

परिभाषा। साधारणएक सतत यादृच्छिक चर की प्रायिकता वितरण है, जिसे प्रायिकता घनत्व द्वारा वर्णित किया गया है

सामान्य वितरण कानून को गॉसियन कानून भी कहा जाता है।

सामान्य वितरण कानून संभाव्यता सिद्धांत के लिए केंद्रीय है। यह इस तथ्य के कारण है कि यह कानून सभी मामलों में खुद को प्रकट करता है जब एक यादृच्छिक चर बड़ी संख्या में विभिन्न कारकों का परिणाम होता है। अन्य सभी वितरण कानून सामान्य कानून से संपर्क करते हैं।

कर सकते हैं आसान प्रदर्शनवह पैरामीटर और वितरण घनत्व में शामिल हैं, क्रमशः गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर X के मानक विचलन।

वितरण फ़ंक्शन का पता लगाएं एफ (x).

सामान्य वितरण के घनत्व वाले प्लॉट को सामान्य वक्र या गाऊसी वक्र कहा जाता है।

सामान्य वक्र में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1 ) फ़ंक्शन को पूरी संख्या अक्ष पर परिभाषित किया गया है।

2 ) सबके लिए एक्स वितरण फ़ंक्शन केवल सकारात्मक मान लेता है।

3 ) OX अक्ष प्रायिकता घनत्व ग्राफ का क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है, क्योंकि तर्क के निरपेक्ष मूल्य में असीमित वृद्धि के साथ एक्सफ़ंक्शन का मान शून्य पर जाता है।

4 ) समारोह के चरम का पता लगाएं।

चूंकि पर य ’\u003e ० पर एक्स< m तथा y '< 0 पर x\u003e मी , फिर बिंदु पर x \u003d टी फ़ंक्शन में अधिकतम के बराबर है।

5 ) फ़ंक्शन एक सीधी रेखा के बारे में सममित है x \u003d एजबसे अंतर

(एक्स - ए) चुकता घनत्व फ़ंक्शन में शामिल है।

6 ) ग्राफ के विभक्ति बिंदुओं को खोजने के लिए, हम घनत्व फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं।

कब x \u003d एम + s और x \u003d एम - दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, और इन बिंदुओं से गुजरते समय यह संकेत बदलता है, अर्थात। फ़ंक्शन में इन बिंदुओं पर एक विभक्ति है।

एक सतत यादृच्छिक चर है घातीय (घातीय ) वितरण विधि पैरामीटर के साथ अगर इसकी संभावना घनत्व के रूप में है:

(12.1)

यहां एक निरंतर सकारात्मक मूल्य है। इसलिए घातीय वितरण एक सकारात्मक पैरामीटर द्वारा निर्धारित किया जाता है ... आइए हम घातीय वितरण के अभिन्न कार्य को खोजें:

(12.3)

चित्र: 12.1। विभेदक घातीय वितरण समारोह ()

चित्र: 12.2। घातीय वितरण का संचयी कार्य ()

घातांक वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं

आइए हम घातीय वितरण की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता की गणना करें:

विचरण की गणना करने के लिए, हम इसके गुणों में से एक का उपयोग करेंगे:

चूंकि , तो यह गणना करने के लिए बनी हुई है:

प्रतिस्थापन (12.6) में (12.5), हम अंत में प्राप्त करते हैं:

(12.7)

एक यादृच्छिक चर के लिए, घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, गणितीय अपेक्षा मानक विचलन के बराबर है।

उदाहरण 1।घातांक वितरण के अंतर और संचयी कार्यों को लिखें, यदि पैरामीटर।

फेसला... क) वितरण घनत्व का रूप है:

बी) संबंधित अभिन्न कार्य के बराबर है:

उदाहरण 2।घातीय कानून के अनुसार वितरित एसवी के लिए दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना का पता लगाएं

फेसला... आइये एक समाधान खोजते हैं, याद करते हुए कि:। अब, ध्यान में रखते हुए (12.3), हम प्राप्त करते हैं:

विश्वसनीयता समारोह

चलो एक डिवाइस को एक तत्व कहते हैं, चाहे वह "सरल" या "जटिल" हो। तत्व को समय पर काम करना शुरू करें, और अवधि समाप्त होने के बाद, एक विफलता होती है। हमें निरंतर एसवी द्वारा निरूपित करें - तत्व के अपटाइम की अवधि। यदि तत्व एक समय के लिए विफलता के बिना (विफलता से पहले) काम करता है, तो, परिणामस्वरूप, अवधि के दौरान एक विफलता होगी। इस तरह, असफलता की संभावना समय के साथ, अवधि अभिन्न फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित की जाती है:

. (12.8)

फिर एक ही समय अवधि के लिए विफलता-मुक्त संचालन की संभावना विपरीत घटना की संभावना के बराबर है, अर्थात।

विश्वसनीयता समारोह एक फ़ंक्शन को कहा जाता है जो एक समय अवधि के लिए किसी तत्व के विफलता-मुक्त संचालन की संभावना निर्धारित करता है.

अक्सर एक तत्व के अपटाइम की अवधि में एक घातीय वितरण होता है, जिसका अभिन्न अंग है:

. (12.10)

फिर, तत्व के अपटाइम के संभावित वितरण और खाते में (12.9) लेने के मामले में, विश्वसनीयता समारोह निम्न के बराबर होगा:

. (12.11)

उदाहरण 3।तत्व का अपटाइम घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है at (समय घंटों में)। संभावना ढूंढें कि तत्व विफलता के बिना 100 घंटे काम करेगा।

फेसला... हमारे उदाहरण में, तब हम उपयोग करेंगे (12.11):

व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए विश्वसनीयता का घातीय कानून बहुत सरल और सुविधाजनक है। इस कानून में निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुण हैं:

अवधि के एक समय अंतराल में किसी तत्व की विफलता-मुक्त संचालन की संभावना पिछले अंतराल के समय पर निर्भर अंतराल की शुरुआत से पहले निर्भर नहीं करती है, लेकिन केवल समय की अवधि पर निर्भर करती है(दी गई विफलता दर पर).

आइए हम निम्नलिखित संकेतन प्रस्तुत करके इस संपत्ति को साबित करें:

अवधि के अंतराल पर किसी तत्व का विफलता-रहित संचालन;

फिर घटना यह है कि तत्व अवधि के अंतराल के लिए निर्दोष रूप से काम करता है। आइए सूत्र (12.11) का उपयोग करके इन घटनाओं की संभावनाओं को जानें, यह मानते हुए कि तत्व का अपटाइम घातीय कानून के अधीन है:

आइए हम सशर्त संभावना पाते हैं कि तत्व समय अंतराल पर निर्दोष रूप से काम करेगा, बशर्ते कि यह पहले से ही पिछले समय अंतराल पर त्रुटिपूर्ण काम कर चुका हो:

(12.13)

हम देखते हैं कि परिणामी सूत्र पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन केवल पर। तुलना (12.12) और (12.13), हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अवधि के अंतराल पर किसी तत्व के बिना विफलता संचालन की सशर्त संभावना, इस धारणा पर गणना की जाती है कि तत्व ने पिछले अंतराल में विफलता के बिना काम किया है, बिना शर्त संभावना के बराबर है।

इसलिए, विश्वसनीयता के घातीय कानून के मामले में, "अतीत में" किसी तत्व का विफलता-मुक्त संचालन "निकट भविष्य में" इसकी विफलता-मुक्त संचालन की संभावना के मूल्य को प्रभावित नहीं करता है।


संयुक्त तत्व

प्राथमिक घटनाओं का स्थान। यादृच्छिक घटनाओं।

संभावना

संभाव्यता की आधुनिक अवधारणा

शास्त्रीय संभाव्य योजना

ज्यामितीय संभावनाएँ

संभावनाओं के जोड़ का कानून

प्रायिकता गुणन प्रमेय

कुल संभावना सूत्र

अनुमान प्रमेय। बेयस का सूत्र।

परीक्षणों की पुनरावृत्ति। बर्नौली की योजना।

स्थानीय मॉइवर-लाप्लास प्रमेय

इंटीग्रल डे मोइवर-लाप्लास प्रमेय

पॉइसन की प्रमेय (दुर्लभ घटनाओं का कानून)

यादृच्छिक चर

वितरण कार्य

सतत यादृच्छिक चर और वितरण घनत्व

वितरण घनत्व के मूल गुण

एक-आयामी यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं

अपेक्षा के गुण

एक यादृच्छिक चर के क्षण

फैलाव गुण

असममितता और कर्टोसिस

बहुआयामी यादृच्छिक चर

एक दो आयामी वितरण समारोह के गुण

दो-आयामी यादृच्छिक चर की संभावना घनत्व

बफन की समस्या

सशर्त वितरण घनत्व

यादृच्छिक चर की एक प्रणाली की संख्यात्मक विशेषताएं

सहसंबंध गुणांक गुण

सामान्य (गाऊसी) वितरण कानून

अंतराल से टकराने की संभावना

सामान्य वितरण समारोह के गुण

वितरण (ची-वर्ग)

घातीय (घातांक) वितरण कानून

घातांक वितरण की संख्यात्मक विशेषताएं

विश्वसनीयता समारोह

घातांक (घातांक) वितरण

प्रबंधकीय निर्णय लेने और अन्य अनुप्रयुक्त अनुसंधान में व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले वितरण के एक परिवार पर विचार करें - घातीय वितरण का परिवार। चलो संभाव्य का विश्लेषण करें !! इस तरह के वितरण के लिए अग्रणी मॉडल। ऐसा करने के लिए, "घटनाओं के प्रवाह" पर विचार करें, अर्थात। समय के कुछ बिंदुओं पर एक के बाद एक होने वाली घटनाओं का क्रम। उदाहरणों में शामिल हैं: एक कंप्यूटर सिस्टम का अपटाइम, कारों की क्रमिक आवृत्तियों के बीच का अंतराल चौराहे की कराहती लाइन तक, ग्राहक का प्रवाह एक बैंक शाखा को कॉल करता है; वस्तुओं और सेवाओं के लिए आवेदन करने वाले खरीदारों का प्रवाह; टेलीफोन एक्सचेंज में कॉल प्रवाह; तकनीकी श्रृंखला आदि में उपकरणों की विफलता का प्रवाह।

घटनाओं के प्रवाह के सिद्धांत में, घटनाओं के प्रवाह के योग का प्रमेय मान्य है। कुल प्रवाह में बड़ी संख्या में स्वतंत्र निजी प्रवाह होते हैं, जिनमें से किसी का भी कुल प्रवाह पर प्रभाव नहीं होता है। इस प्रकार, टेलीफोन एक्सचेंज पर आने वाली कॉल के प्रवाह में बड़ी संख्या में स्वतंत्र कॉल प्रवाह होते हैं जो व्यक्तिगत ग्राहकों से उत्पन्न होते हैं। मामले में जब प्रवाह की विशेषताएं समय पर निर्भर नहीं करती हैं, तो कुल प्रवाह एक संख्या द्वारा पूरी तरह से वर्णित है एक्स - प्रवाह की दर। कुल प्रवाह के लिए, एक यादृच्छिक चर का वितरण कार्य एक्स - क्रमिक घटनाओं के बीच समय अंतराल की लंबाई इस प्रकार है:

इस वितरण को घातांक (घातांक) वितरण कहा जाता है। शिफ्ट पैरामीटर c को कभी-कभी इस फ़ंक्शन में पेश किया जाता है।

घातांक वितरण में केवल एक पैरामीटर है, जो इसकी विशेषताओं को निर्धारित करता है। वितरण घनत्व निम्नानुसार है:

कहाँ पे एक्स - निरंतर सकारात्मक मूल्य।

फंक्शन ग्राफ / (एक्स) चित्र में दिखाया गया है। 9.12।

चित्र: 9.12।

अंजीर में। 9.13 विभिन्न मापदंडों के लिए एक घातांक वितरण के घनत्व का ग्राफ दिखाता है एक्स।

घातीय वितरण स्वतंत्र घटनाओं के बीच समय के वितरण को दर्शाता है जो एक निरंतर तीव्रता के साथ दिखाई देते हैं। घातीय कानून यादृच्छिक चर के वितरण के लिए विशिष्ट है, जिसमें परिवर्तन कुछ प्रमुख कारक के प्रभाव के कारण होता है। विश्वसनीयता सिद्धांत में, यह वितरण अचानक विफलताओं के वितरण का वर्णन करता है, क्योंकि उत्तरार्द्ध दुर्लभ घटनाएं हैं। घातांक वितरण भी वर्णन करने के लिए कार्य करता है


चित्र: 9.13। विभिन्न मापदंडों के लिए घातीय वितरण घनत्व एक्स

जटिल प्रणालियों का संचालन समय जो चल रहे समय को पार कर गया है, और बड़ी संख्या में क्रमिक रूप से जुड़े तत्वों के साथ एक प्रणाली के अपटाइम का वर्णन करने के लिए, जिनमें से प्रत्येक का सिस्टम विफलता पर बड़ा प्रभाव नहीं पड़ता है।

घातांक वितरण कानून के लिए सैद्धांतिक आवृत्तियों को सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कहाँ पे एन - जनसंख्या की मात्रा; से 1 ग्रा - अंतराल की लंबाई; इ - प्राकृतिक लघुगणक का आधार; एक्स - मध्यम वर्गों के सशर्त विचलन:

घातीय कानून के अनुसार अनुभवजन्य वितरण (तालिका 9.4) के संरेखण पर विचार करें।

तालिका 9.4

वितरण के घातीय समकारी के लिए अनुभवजन्य आवृत्तियों

हमारे पास है एन \u003d 160; ब क \u003d 41; x \u003d 54.59। कक्षाओं के मध्य के सशर्त विचलन के मूल्यों की गणना, सहायक मूल्य इ _1 और सैद्धांतिक आवृत्तियों का उत्पादन तालिका में किया जाता है। 9.5।

तालिका 95

अनुभवजन्य आवृत्तियों का घातीय समीकरण

अनुभवजन्य साक्ष्य, एक्स

अनुभवजन्य आवृत्ति, टी

सैद्धांतिक आवृत्तियों

घातांक वितरण के अनुभवजन्य और सैद्धांतिक आवृत्तियों को अंजीर में ग्राफिक रूप से प्लॉट किया जाता है। 9.14।

घातांक वितरण वेइबुल का एक विशेष मामला है - गेडेंको वितरण (आकार पैरामीटर के मूल्य के अनुरूप) बी \u003d 1).

उदाहरण फ़ाइल

घातांक वितरण पर विचार करें, इसकी गणितीय अपेक्षा, भिन्नता, माध्यिका की गणना करें। MS EXCEL फ़ंक्शन EXP.DIST () का उपयोग करके, हम वितरण फ़ंक्शन और प्रायिकता घनत्व के ग्राफ़ का निर्माण करेंगे। चलो यादृच्छिक संख्याओं की एक सरणी उत्पन्न करते हैं और वितरण पैरामीटर का मूल्यांकन करते हैं।

(Eng। घातीय वितरण) अक्सर यादृच्छिक घटनाओं के बीच प्रतीक्षा समय की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है। स्थिति जहां आवेदन संभव है, नीचे वर्णित हैं। घातांकी रूप से वितरण :

  • कैफे में आगंतुकों की उपस्थिति के बीच का समय अंतराल;
  • दोष की घटना के बीच उपकरणों के सामान्य संचालन के लिए समय अंतराल (दोष यादृच्छिक बाहरी प्रभावों के कारण होते हैं, और पहनने, देखने के कारण नहीं होते हैं);
  • एक ग्राहक की सेवा में समय व्यतीत होता है।

यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करना

वितरित की संख्या की एक सरणी उत्पन्न करने के लिए घातीय कानून , आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं \u003d -LN (RAND ()) / λ

रैंड () फ़ंक्शन 0 से 1 तक उत्पन्न होता है, जो वास्तव में प्रायिकता की भिन्नता की सीमा से मेल खाता है (देखें। उदाहरण फ़ाइल शीट जनरेशन).

यदि यादृच्छिक संख्या सीमा में हैं B14: B213 , तो पैरामीटर का अनुमान है घातांकी रूप से वितरण λ सूत्र \u003d 1 / AVERAGE (B14: B213) का उपयोग करके किया जा सकता है।

कार्य

घातांकी रूप से वितरण व्यापक रूप से विश्वसनीयता इंजीनियरिंग के अनुशासन में उपयोग किया जाता है। पैरामीटर λ बुलाया विफलता दर , ए 1/ λ – किसी डिवाइस का ऑपरेशन समय समाप्त होने की अवधि .

मान लीजिए कि एक निश्चित प्रणाली के एक इलेक्ट्रॉनिक घटक द्वारा वर्णित एक उपयोगी जीवन है घातांकी रूप से वितरण से विफलता दर इस प्रकार प्रति घंटे 10 ^ (- 3) के बराबर λ = 10^(-3). विफलता के लिए औसत समय 1000 घंटे के बराबर। संभावना की गणना करने के लिए कि एक घटक में विफल हो जाएगा विफलता का औसत समय, फिर आपको सूत्र लिखने की आवश्यकता है:

उन। परिणाम पैरामीटर से स्वतंत्र है λ .

MS EXCEL में, समाधान इस तरह दिखता है: \u003d EXP.DIST (10 ^ 3; 10 ^ (- 3); TRUE)

एक कार्य . विफलता के लिए औसत समय कुछ घटक 40 घंटे के बराबर है। इस संभावना को ढूंढें कि ऑपरेशन के 20 से 30 घंटों के बीच एक घटक विफल हो जाएगा। \u003d EXP.DIST (30; 1/40; TRUE) - EXP.DIST (20; 1/40; TRUE)

टिप : आप लेख में एमएस एक्सेल के अन्य वितरणों के बारे में पढ़ सकते हैं।