पंक्तियों का सशर्त और पूर्ण अभिसरण। श्रृंखला का पूर्ण और सशर्त अभिसरण

अल्टरनेटिंग सीरीज़ वैकल्पिक श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

परिभाषा 2.2। एक संख्यात्मक श्रृंखला जिसके सदस्यों के किसी भी संख्या के बाद अलग-अलग संकेत होते हैं बारी .

वैकल्पिक श्रृंखला के लिए, निम्नलिखित रखती है। सामान्य पर्याप्त अभिसरण मानदंड.

प्रमेय 2.2। एक वैकल्पिक श्रृंखला दी जाए

यदि दी गई श्रृंखला के सदस्यों के मॉड्यूल से बना एक श्रृंखला अभिसरण करता है

इसके बाद बारी-बारी से श्रृंखला (2.2) भी परिवर्तित होती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि रूपांतरण सही नहीं है: यदि श्रृंखला (2.2) अभिसरण करती है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि श्रृंखला (2.3) अभिसरण करेगी।

परिभाषा 2.3। पूरी तरह से अभिसरण यदि श्रृंखला अपने सदस्यों के मॉड्यूल्स से बनी होती है।

प्रत्यावर्ती श्रृंखला को कहा जाता है सशर्त रूप से परिवर्तित करना यदि यह स्वयं को परिवर्तित करता है, और श्रृंखला, इसके सदस्यों के मॉड्यूल से बना है, तो यह अलग हो जाता है।

वैकल्पिक पंक्तियों के बीच, पंक्तियों को परिवर्तित करना एक विशेष स्थान पर कब्जा कर लेता है। ऐसी श्रृंखला में कई गुण होते हैं जिन्हें हम बिना प्रमाण के कहते हैं।

रकम के साथ दो बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला का उत्पाद एक पूरी तरह से अभिसरण श्रृंखला है, जिसका योग बराबर है।

इस प्रकार, पूरी तरह से अभिसरण श्रृंखला को साधारण श्रृंखला की तरह अभिव्यक्त, घटाया, गुणा किया जाता है। ऐसी श्रृंखला का योग सदस्यों के लिखने के क्रम पर निर्भर नहीं करता है।

सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला के मामले में, संबंधित कथन (गुण), आम तौर पर बोलते हैं, पकड़ नहीं है।

इसलिए, सशर्त रूप से परिवर्तित श्रृंखला की शर्तों को पुन: व्यवस्थित करके, आप यह प्राप्त कर सकते हैं कि श्रृंखला का योग बदल जाता है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला सशर्त रूप से लाइबनिज़ के आधार पर अभिसरण होता है। इस श्रृंखला का योग होने दें। आइए इसकी शर्तों को फिर से लिखें ताकि एक सकारात्मक शब्द के बाद दो नकारात्मक हों। हमें एक श्रृंखला मिलती है

राशि आधी घट गई!

इसके अलावा, एक सशर्त रूप से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों को फिर से व्यवस्थित करके, एक पूर्वनिर्धारित राशि या एक विचलन श्रृंखला (रीमैन की प्रमेय) के साथ एक अभिसरण श्रृंखला प्राप्त कर सकता है।

इसलिए, श्रृंखला पर कार्रवाई यह सुनिश्चित किए बिना नहीं की जा सकती है कि वे पूरी तरह से अभिसरण हैं। पूर्ण अभिसरण स्थापित करने के लिए, संख्यात्मक शब्दों के साथ संख्यात्मक श्रृंखला के सभी अभिसरण मानदंड का उपयोग किया जाता है, हर जगह आम शब्द को इसके मापांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण 2.1। .

फेसला। मूल पंक्ति बारी-बारी से है। किसी श्रृंखला के सदस्यों के पूर्ण मूल्यों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें, अर्थात्। पंक्ति ... तब से, एक समान श्रृंखला की शर्तें डिरिक्लेट श्रृंखला के अधिकांश सदस्यों पर हैं , जिसे जाना जाता है। इसलिए, तुलनात्मक विशेषता के आधार पर, यह श्रृंखला पूर्ण रूप से परिवर्तित होती है। ,

उदाहरण 2.2। अभिसरण के लिए एक श्रृंखला की जाँच करें।

फेसला।

2) निरपेक्ष शब्दों से बनी श्रृंखला पर विचार करें। आइए हम डी 'एलेबर्ट परीक्षण का उपयोग करके अभिसरण के लिए इसकी जांच करें

डी'एल्बर्ट के आधार पर, निरपेक्ष शब्दों की एक श्रृंखला अभिसरण करती है। इसका मतलब है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला पूरी तरह से परिवर्तित होती है। ,

उदाहरण 2.3। श्रृंखला के अभिसरण के लिए जाँच करें .

फेसला। 1) यह पंक्ति वैकल्पिक है। हम लाइबनिट्स चिन्ह का उपयोग करते हैं। अगर शर्तों को पूरा किया जाता है तो जांच करें।

नतीजतन, मूल श्रृंखला अभिसरण होती है।

2) निरपेक्ष शब्दों से बनी श्रृंखला पर विचार करें। सीमा तुलना कसौटी का उपयोग करके अभिसरण के लिए इसकी जांच करते हैं। एक हार्मोनिक श्रृंखला पर विचार करें जो विचलन करता है।

नतीजतन, दोनों पंक्तियां एक ही तरह से व्यवहार करती हैं, अर्थात्। निरपेक्ष शब्दों की श्रृंखला भी विचलन करती है। इसका मतलब है कि मूल वैकल्पिक श्रृंखला सशर्त रूप से परिवर्तित होती है। ,

वैकल्पिक पंक्तियाँ वे पंक्तियाँ हैं जिनकी शर्तें वैकल्पिक रूप से सकारात्मक और नकारात्मक होती हैं। ... सबसे अधिक बार, वैकल्पिक श्रृंखला पर विचार किया जाता है जिसमें सदस्य एक के माध्यम से वैकल्पिक करते हैं: प्रत्येक सकारात्मक एक नकारात्मक द्वारा पीछा किया जाता है, प्रत्येक नकारात्मक - एक सकारात्मक। लेकिन एकांतर पंक्तियाँ हैं जिनमें सदस्य दो, तीन, और इसी तरह वैकल्पिक होते हैं।

वैकल्पिक श्रृंखला के एक उदाहरण पर विचार करें, जिसकी शुरुआत इस तरह दिखती है:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

और तुरंत वैकल्पिक पंक्तियों की रिकॉर्डिंग के लिए सामान्य नियम।

किसी भी श्रृंखला के मामले में, इस श्रृंखला को जारी रखने के लिए, आपको एक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करना होगा जो श्रृंखला के सामान्य शब्द को निर्धारित करता है। हमारे मामले में यह है n + 2 .

और पंक्ति के सदस्यों के संकेतों के विकल्प को कैसे सेट किया जाए? कुछ हद तक शून्य से कार्य गुणा। किस डिग्री में? हम तुरंत इस बात पर जोर देते हैं कि हर डिग्री श्रृंखला के सदस्यों के लिए संकेतों का विकल्प प्रदान नहीं करती है।

मान लें कि हम चाहते हैं कि वैकल्पिक श्रृंखला का पहला सदस्य सकारात्मक हो, जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में है। तब माइनस एक को सत्ता में होना चाहिए n - 1। एक के साथ शुरू होने वाली इस अभिव्यक्ति में संख्याओं को प्रतिस्थापित करना शुरू करें और आपको मिलेगा शून्य से एक पर एक घातांक के रूप में, यह या तो विषम या विषम है। संकेतों के प्रत्यावर्तन के लिए यह आवश्यक स्थिति है! हम उसी परिणाम को प्राप्त करते हैं n + 1। यदि हम चाहते हैं कि वैकल्पिक श्रृंखला का पहला शब्द एक नकारात्मक संकेत के साथ हो, तो हम इस श्रृंखला को सामान्य शब्द के कार्य को एक से गुणा करके शक्ति में परिभाषित कर सकते हैं। n ... हमें एक सम, फिर एक विषम संख्या, और इसी तरह मिलेगा। जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले से ही वर्णित संकेतों की स्थिति संतुष्ट है।

इस प्रकार, हम उपरोक्त वैकल्पिक श्रृंखला को सामान्य रूप में लिख सकते हैं:

किसी श्रृंखला के सदस्य के वैकल्पिक संकेतों के लिए, डिग्री माइनस एक का योग हो सकता है n और कोई भी सकारात्मक या नकारात्मक, सम या विषम संख्या। 3 के लिए भी यही लागू होता है n , 5n , ... अर्थात्, प्रत्यावर्ती श्रृंखला के सदस्यों के संकेतों का प्रत्यायन एक योग के रूप में शून्य से एक पर डिग्री प्रदान करता है। n , किसी भी विषम संख्या और किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है।

माइनस एक में कौन सी शक्तियां श्रृंखला के सदस्यों के संकेतों के विकल्प को सुनिश्चित नहीं करती हैं? जो रूप में मौजूद हैं n , किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है जिसमें कोई भी संख्या जोड़ी जाती है, जिसमें शून्य, सम, या विषम शामिल हैं। ऐसे डिग्री के संकेतक के उदाहरण: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n + 3 ... इस तरह के डिग्री के मामले में, "एन" किस संख्या पर निर्भर करता है, एक संख्या से गुणा किया जाता है, या तो केवल या केवल विषम संख्याएं प्राप्त की जाती हैं, जो कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं, श्रृंखला के सदस्यों के संकेतों का विकल्प नहीं देता है। ...

वैकल्पिक पंक्तियों - एक विशेष मामला वैकल्पिक पंक्तियों . वैकल्पिक पंक्तियों को मनमाने अक्षरों के सदस्यों के साथ पंक्तियाँ हैं , वह है, जो किसी भी क्रम में सकारात्मक और नकारात्मक हो सकते हैं। एक वैकल्पिक श्रृंखला का एक उदाहरण:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

अगला, प्रत्यावर्ती और प्रत्यावर्ती श्रृंखला के अभिसरण के मानदंड पर विचार करें। वैकल्पिक श्रृंखला के सशर्त अभिसरण को लिबनिज परीक्षण का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है। और श्रृंखला की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए - प्रत्यावर्तन (वैकल्पिक वाले सहित) - पूर्ण अभिसरण का संकेत मान्य है।

वैकल्पिक श्रृंखला का अभिसरण। लीबनिज का संकेत

वैकल्पिक श्रृंखला के लिए, निम्नलिखित अभिसरण मानदंड होता है - लिबनीज मानदंड।

प्रमेय (लीबनिज परीक्षण)। श्रृंखला परिवर्तित होती है, और इसकी राशि पहले कार्यकाल से अधिक नहीं होती है, यदि निम्नलिखित दो शर्तें एक साथ पूरी होती हैं:

• वैकल्पिक श्रृंखला के सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों में कमी: यू1 > यू2 > यू3 > ... > यूn\u003e ...;
• असीमित वृद्धि के साथ अपने सामान्य शब्द की सीमा n शून्य है।

परिणाम। यदि प्रत्यावर्ती पंक्ति का योग इसके योग के रूप में लिया जाता है n शर्तें, तो इस मामले में दी गई त्रुटि पहले खारिज शब्द के निरपेक्ष मूल्य से अधिक नहीं है।

उदाहरण 1।श्रृंखला के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला। यह एक वैकल्पिक पंक्ति है। इसके सदस्यों के पूर्ण मूल्यों में कमी आती है:

और सामान्य अवधि सीमा

शून्य के बराबर:

लाइबनिज परीक्षण की दोनों शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए श्रृंखला में परिवर्तन होता है।

उदाहरण 2।श्रृंखला के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला। यह एक वैकल्पिक पंक्ति है। सबसे पहले, हम यह साबित करेंगे:

, .

अगर एन \u003d 1, फिर सभी के लिए n > एन असमानता १२ n − 7 > n ... सभी के बदले में n ... इसलिए, यह है कि पूर्ण मूल्य में श्रृंखला की शर्तें कम हो जाती हैं। आइए हम श्रृंखला के सामान्य शब्द की सीमा ज्ञात करें (आवेदन करें लोपिटल का नियम):

सामान्य अवधि की सीमा शून्य है। लाइबनिट्स मानदंड की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए, अभिसरण प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है।

उदाहरण 3।श्रृंखला के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला। एक वैकल्पिक पंक्ति दी गई है। आइए जानें कि लीबनिज परीक्षण की पहली शर्त संतुष्ट है या नहीं। आवश्यकता को पूरा करने के लिए, यह आवश्यक है कि

हमने यह सुनिश्चित किया कि आवश्यकता सभी के लिए पूरी हो n > 0 ... पहला लाइबनिट्स टेस्ट आयोजित करता है। आइए हम श्रृंखला के सामान्य शब्द की सीमा खोजें:

.

सीमा शून्य नहीं है। इस प्रकार, लाइबनिट्स मानदंड की दूसरी शर्त पूरी नहीं हुई है, इसलिए अभिसरण प्रश्न से बाहर है।

उदाहरण 4।श्रृंखला के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला। इस श्रृंखला में, दो सकारात्मक शब्दों के बाद दो नकारात्मक शब्द आते हैं। यह पंक्ति वैकल्पिक भी है। आइए जानें कि लाइबनिट्स परीक्षण की पहली स्थिति संतुष्ट है या नहीं।

आवश्यकता सभी के लिए पूरी होती है n > 1 ... पहला लाइबनिट्स टेस्ट आयोजित करता है। आइए जानें कि क्या सामान्य शब्द की सीमा शून्य के बराबर है (L'Hôpital का नियम लागू करना):

.

हम शून्य हो गए। इस प्रकार, लाइबनिज मानदंड की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। धर्मान्तरण होता है।

उदाहरण 5।श्रृंखला के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला। यह एक वैकल्पिक पंक्ति है। आइए जानें कि लाइबनिट्स परीक्षण की पहली स्थिति संतुष्ट है या नहीं। जैसा

,

जैसा n ≥ 0 , फिर ३ n + २\u003e ०। बदले में, सभी के लिए n , इसलिए । नतीजतन, पूर्ण मूल्य में श्रृंखला की शर्तें कम हो जाती हैं। पहला लाइबनिट्स टेस्ट आयोजित करता है। आइए जानें कि श्रृंखला के सामान्य शब्द की सीमा शून्य के बराबर है (L'Hôpital के नियम का उपयोग करते हुए):

.

शून्य मान मिला। लाइबनिट्स मानदंड की दोनों शर्तें संतुष्ट हैं, इसलिए, यह श्रृंखला अभिसरण करती है।

उदाहरण 6।श्रृंखला के अभिसरण का अन्वेषण करें

फेसला। आइए जानें कि इस वैकल्पिक श्रृंखला के लिए लाइबनिज परीक्षण की पहली शर्त संतुष्ट है या नहीं:

श्रृंखला के सदस्य निरपेक्ष मूल्य में कमी करते हैं। पहला लाइबनिट्स टेस्ट आयोजित करता है। आइए जानें कि क्या सामान्य शब्द की सीमा शून्य के बराबर है:

.

सामान्य अवधि की सीमा शून्य नहीं है। लाइबनिट्स विशेषता की दूसरी स्थिति पूरी नहीं हुई है। इसलिए, यह श्रृंखला विचलन करती है।

लीबनीज का चिन्ह एक संकेत है श्रृंखला का सशर्त अभिसरण... इसका मतलब यह है कि ऊपर दी गई वैकल्पिक श्रृंखला के अभिसरण और विचलन के बारे में निष्कर्ष को पूरक किया जा सकता है: ये श्रृंखला सशर्त रूप से परिवर्तित (या विचलन) करती हैं।

वैकल्पिक श्रृंखला का पूर्ण अभिसरण

पंक्ति चलो

- बारी-बारी से। अपने सदस्यों के पूर्ण मूल्यों से बनी एक श्रृंखला पर विचार करें:

परिभाषा। एक श्रृंखला को पूरी तरह से अभिसरण कहा जाता है अगर एक श्रृंखला अपने सदस्यों के पूर्ण मूल्यों से बनी होती है। यदि एक वैकल्पिक श्रृंखला अभिसरण करती है, और एक श्रृंखला अपने सदस्यों के पूर्ण मूल्यों से बनी होती है, तो ऐसी वैकल्पिक श्रृंखला को कहा जाता है सशर्त या गैर-अभिसरण .

प्रमेय। यदि श्रृंखला बिल्कुल अभिसारी है, तो यह सशर्त रूप से परिवर्तित होती है।

उदाहरण 7।निर्धारित करें कि श्रृंखला अभिसरण करती है

फेसला। सकारात्मक सदस्यों के बगल में इस श्रृंखला के अनुरूप यह श्रृंखला है सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला , जिसमें, इसलिए, श्रृंखला विचलन करती है। आइए हम जांच लें कि लिबनीज परीक्षण की शर्तें पूरी की जाती हैं या नहीं।

आइए श्रृंखला के पहले पाँच सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों को लिखें:

.

जैसा कि आप देख सकते हैं, श्रृंखला की शर्तें निरपेक्ष मूल्य में घट जाती हैं। पहला लाइबनिट्स टेस्ट आयोजित करता है। आइए जानें कि क्या सामान्य शब्द की सीमा शून्य के बराबर है:

शून्य मान मिला। लाइबनिट्स विशेषता की दोनों स्थितियां संतुष्ट हैं। यही है, लाइबनिज मानदंड के अनुसार, अभिसरण होता है। और संबंधित श्रृंखला सकारात्मक शब्दों के साथ विचलन करती है। नतीजतन, यह श्रृंखला सशर्त रूप से परिवर्तित होती है।

उदाहरण 8।निर्धारित करें कि श्रृंखला अभिसरण करती है

पूरी तरह से, सशर्त या विचलन।

फेसला। सकारात्मक शब्दों के आगे इस श्रृंखला के अनुरूप यह श्रृंखला है, यह एक सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला है, जिसमें, इसलिए श्रृंखला में परिवर्तन होता है। आइए हम जांच लें कि लिबनीज परीक्षण की शर्तें पूरी की जाती हैं या नहीं।

(आमतौर पर बोलने वाले) जटिल शब्दों के साथ जिसके लिए श्रृंखला परिवर्तित होती है

श्रृंखला (1) के पूर्ण अभिसरण के लिए, यह आवश्यक है और पर्याप्त है (श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण के लिए कैची कसौटी) कि किसी भी संख्या के लिए सभी संख्याओं और सभी पूर्णांकों के लिए एक संख्या मौजूद है।

यदि श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण है, तो यह अभिसरण करता है। पंक्ति

पूरी तरह से एकाग्र और एक संख्या

अभिसरण, लेकिन बिल्कुल नहीं। लश्कर

सीरीज़ (1) के समान शब्दों से बनी एक सीरीज़, लेकिन एक अलग क्रम में, आम तौर पर बोल ली जाती है। श्रृंखला (1) के पूर्ण अभिसरण से तात्पर्य है श्रृंखला की पूर्णता (3) और श्रृंखला (3) दोनों में श्रृंखला (1) के समान योग है। अगर पंक्तियाँ

पूर्ण रूप से परिवर्तित करें, फिर: उनमें से कोई भी रैखिक संयोजन

भी पूरी तरह से अभिसरण; इन श्रृंखला के सदस्यों के सभी प्रकार के जोड़ीदार उत्पादों से प्राप्त श्रृंखला, एक अनियंत्रित क्रम में व्यवस्थित की जाती है, यह भी पूरी तरह से रूपांतरित होती है और इसकी राशि इन श्रृंखलाओं के उत्पाद के बराबर होती है। पूरी तरह से अभिसरण श्रृंखला के सूचीबद्ध गुण हैं कई श्रृंखला

धर्मान्तरित पूरी तरह से, यानी, सूचकांकों पर श्रृंखला (4) के क्रमिक योग द्वारा प्राप्त सभी श्रृंखलाएं पूर्ण रूप से अभिसरण होती हैं, और कई श्रृंखलाओं (4) और बार-बार (5) के योग बराबर होते हैं और श्रृंखला की सभी शर्तों से बनने वाली किसी एक श्रृंखला के योग से मेल खाते हैं (4) )।

यदि श्रृंखला की शर्तें (1) तत्वों के मानक के साथ कुछ Banach स्थान के तत्व हैं, तो श्रृंखला (1) कहा जाता है। पूरी तरह से अभिसरण अगर श्रृंखला

मामले में ए। एस। आर एक Banach अंतरिक्ष के तत्वों, ऊपर माना गया बिल्कुल अभिसरण संख्यात्मक श्रृंखला के गुणों को भी सामान्यीकृत किया जाता है, विशेष रूप से, ए एस। आर इस स्थान में एक बाॅन्च स्थान के तत्व अभिसरण होते हैं। इसी तरह, ए की अवधारणा। आर Banach अंतरिक्ष में कई श्रृंखला के लिए किया जाता है।

गणित का विश्वकोश। - एम ।: सोवियत विश्वकोश... आई। एम। विनोग्रादोव। 1977-1985।

अन्य शब्दकोशों में देखें "ABSOLUTELY CONVERGING SERIES" क्या है:

कार्यात्मक श्रृंखला (1) के साथ (आमतौर पर बोलने वाले) जटिल शब्द, सेट X पर परिवर्तित करना, और ऐसे कि किसी भी e\u003e 0 के लिए एक नंबर मौजूद है जैसे कि n\u003e ne और सभी असमानता के लिए जहां और दूसरे शब्दों में, आंशिक का क्रम ... गणित का विश्वकोश

सामग्री। 1) परिभाषा। 2) एक श्रृंखला द्वारा परिभाषित संख्या। 3) श्रृंखला के अभिसरण और विचलन। 4) सशर्त और पूर्ण अभिसरण। 5) वर्दी अभिसरण। 6) श्रृंखला में कार्यों का अपघटन। 1 कई। परिभाषाएं। आर। तत्वों का एक क्रम है, ... विश्वकोश शब्दकोश एफ.ए. ब्रोकहॉस और आई। ए। एफ्रोन

एक निश्चित राशि वाले स्थलाकृतिक का अनंत योग, तत्वों का एक क्रम (एक शब्द और दी गई पंक्ति)। रिक्त स्थान और उनके परिमित रकम का एक निश्चित अनंत सेट (जिसे आंशिक रूप से और उम और एम और पी के साथ कहा जाता है ... गणित का विश्वकोश

एक श्रृंखला, एक अनंत राशि, उदाहरण के लिए, प्रपत्र u1 + u2 + u3 + ... + un + ... या संक्षेप में। (1) प्रारंभिक गणित में पाए जाने वाले आर। के सबसे सरल उदाहरणों में से एक, अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति का योग है 1 + q + q 2 + ... + q ...

मैं एक अनंत राशि, उदाहरण के लिए, प्रपत्र u1 + u2 + u3 + ... + संयुक्त राष्ट्र + ... महान सोवियत विश्वकोश

कार्यों का एक क्रम जो अपरिवर्तित क्षेत्र (लाल) में प्राकृतिक लघुगणक में परिवर्तित होता है। इस मामले में, यह एन सीरीज का आंशिक योग है, जहां एन शब्दों की संख्या को इंगित करता है। कार्यात्मक सीमा ... विकिपीडिया

एकाधिक श्रृंखला, तालिका सदस्यों की रचना के रूप की अभिव्यक्ति। इस तालिका के प्रत्येक सदस्य को सूचकांक m, n, के साथ क्रमांकित किया गया है। ... ... , पी, जो एक दूसरे के सभी प्राकृतिक संख्याओं से स्वतंत्र रूप से चलते हैं। के। पी। का सिद्धांत। डबल श्रृंखला के सिद्धांत के समान है। यह सभी देखें… … गणित का विश्वकोश

कई आर्क्स के कोजाइन और साइन्स में एक श्रृंखला, अर्थात्, फॉर्म की एक श्रृंखला या जटिल रूप में जहां ak, bk या, क्रमशः, ck कहा जाता है। गुणांक टी। पी। पहली बार टी। आर। एल। यूलर (L. Euler, 1744) में पाया गया। उन्होंने कहा कि धारा में अपघटन प्राप्त हुआ। 18 वीं सदी के सिलसिले में ... ... गणित का विश्वकोश

श्रृंखला जहां ऐसे कार्य हैं जो कश्मीर से स्वतंत्र एक निश्चित क्षेत्र में होलोमोर्फिक हैं। यदि सभी के लिए, तो श्रृंखला (*) कहा जाता है। हार्टोग्स के बगल में। फार्म के एक डोमेन डी में हार्टोग्स में होलोमोर्फिक कोई भी फ़ंक्शन डीजी के अंदर बिल्कुल और समान रूप से परिवर्तित होने का विरोध करता है। एल। आर। पूरे में ... ... गणित का विश्वकोश

उदाहरण 2।

जाँच करें कि क्या श्रृंखला अभिसरण करती है।

क्यों कि

फिर श्रृंखला जुटती है।

अभिन्न अभिसरण मानदंड

अभिसरण के लिए एक अभिन्न मानदंड निम्नलिखित प्रमेय द्वारा व्यक्त किया गया है

प्रमेय 1.8।

सकारात्मक सदस्यों के साथ एक संख्या दी

यदि, के लिए, फ़ंक्शन निरंतर, सकारात्मक है, और नहीं बढ़ता है, और बिंदुओं पर मान लेता है, तो श्रृंखला(1.23) और अनुचित अभिन्न(1.24) एक ही समय में अभिसरण या मोड़ना।

साक्ष्य।

अगर , फिर कहाँ

;

यदि अभिन्न (1.24) अभिसरण और फिर किसी भी प्राकृतिक के साथ। इसलिये,

.

एक नीरस रूप से बढ़ते और बंधे अनुक्रम के बाद से, यह मौजूद है, अर्थात्। श्रृंखला (1.23) भी अभिसरण करती है। यदि श्रृंखला (1.23) अभिसरण करती है और फिर, किसी के लिए भी।

यह समानता (1.26) से निम्नानुसार है किसी के लिए। अनुचित अभिन्न भी अभिसरण करता है।

अभिन्न कसौटी का उपयोग करके, कोई भी साबित कर सकता है कि श्रृंखला

(1.27)

जहां कोई भी वास्तविक संख्या होती है, वहां पर रूपांतरित और परिवर्तित होती है।

वास्तव में, यह पर और परिवर्तित करता है।

वैकल्पिक पंक्तियों। लीबनिज का संकेत

अदल-बदल करएक पंक्ति को एक पंक्ति कहा जाता है जिसमें संख्याओं के साथ कोई भी दो सदस्य और विपरीत लक्षण हैं, अर्थात्। एक तरह की श्रृंखला

(1.30)

साक्ष्य।

समान और विषम संख्याओं के साथ श्रृंखला के आंशिक योगों (1.28) पर विचार करें:

आइए, इनमें से पहली राशि को बदलते हैं:

शर्त (1.29) द्वारा, प्रत्येक कोष्ठक में अंतर सकारात्मक है, इसलिए, योग और सभी के लिए। तो, आंशिक रूप से भी रकम का क्रम एकतरफा बढ़ रहा है और बंधे हुए हैं। इसकी एक सीमा है, जिसे हम निरूपित करते हैं, अर्थात्। ... क्यों कि , तब, पिछली समानता और स्थिति (1.30) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

तो, क्रमशः और विषम संख्याओं के साथ किसी दिए गए श्रृंखला के आंशिक योगों का क्रम समान सीमा है। यह इस प्रकार है कि श्रृंखला के सभी आंशिक योगों के अनुक्रम की एक सीमा है; उन। श्रृंखला परिवर्तित होती है।

उदाहरण।

जाँच करें कि क्या श्रृंखला अभिसरण करती है

(1.31)

यह पंक्ति वैकल्पिक है। यह अभिसरण करता है क्योंकि यह प्रमेय की स्थितियों को संतुष्ट करता है

एक वैकल्पिक श्रृंखला के शेष के लिए एक अनुमान निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

प्रमेय 1.10।

लिबनिज़ प्रमेय की शर्तों को पूरा करने वाली एक वैकल्पिक श्रृंखला के शेष का योग पहले शेष शब्द का संकेत है और इसे निरपेक्ष मान से अधिक नहीं करता है।

साक्ष्य।

शर्तों के बाद श्रृंखला के शेष (1.28) पर विचार करें। इसकी राशि, -तो आंशिक राशि, तब दें

चूंकि प्रमेय 1.9 की शर्तें संतुष्ट हैं, तब सभी के लिए, अर्थात्। कहाँ से

या

इसी तरह, यह साबित होता है कि शर्तों के संतुष्ट होने के बाद श्रृंखला के शेष का योग , अर्थात। तथा .

इसलिए, समरूपता या विषमता की परवाह किए बिना

किसी श्रृंखला के सदस्यों के मॉड्यूल से बनी श्रृंखला पर विचार करें:

(1.34)

प्रमेय 1.11।

यदि पंक्ति(1.34) अभिसरण, फिर श्रृंखला(1.33).

साक्ष्य।

चूंकि श्रृंखला (1.34) किसी भी संख्या के लिए कॉची मानदंड (प्रमेय 1.1) के आधार पर परिवर्तित होती है, फिर किसी भी और सभी पूर्णांक असमानता के लिए।

.

उस। इसका अर्थ है कि श्रृंखला (1.33) भी अभिसरण करती है।

टिप्पणी।

श्रृंखला का अभिसरण (1.33) श्रृंखला के अभिसरण (1.34) का अर्थ नहीं करता है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला धर्मान्तरित (खंड 1.6 देखें), और इसकी शर्तों के मोडुली की श्रृंखला (हार्मोनिक श्रृंखला, खंड 1.2 देखें)।

पूरी तरह से परिवर्तित, यदि इसके सदस्यों के मॉड्यूल की एक श्रृंखला अभिसरित होती है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला

पूरी तरह से अभिसरण है, क्योंकि इसके सदस्यों के मॉड्यूल की एक श्रृंखला अभिसरण करती है, अर्थात। श्रृंखला (हर के साथ ज्यामितीय प्रगति,)।

प्रत्यावर्ती श्रृंखला को कहा जाता है पूरी तरह से अभिसरण (सशर्त रूप से परिवर्तित) नहीं,यदि यह अभिसरण करता है, और इसके सदस्यों के मॉड्यूलों की एक श्रृंखला विचलन करती है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण नहीं है (टिप्पणी देखें)।

पंक्तियों के ऊपर की क्रिया।

एक नंबर का उत्पाद

प्रमेय 1.12।

यदि पंक्ति(1.35) अभिसरण, फिर श्रृंखला(1.36) भी अभिसरण, और

(1.37)

साक्ष्य।

हम यू-ई द्वारा श्रृंखला के आंशिक योगों (1.35) और (1.36) को दर्शाते हैं, अर्थात्।

जाहिर है। यदि श्रृंखला (1.35) अभिसरण करती है और इसका योग बराबर है, अर्थात। , फिर

श्रृंखला (1.35) के अलावा, श्रृंखला पर विचार करें

यह भी पूर्ण रूप से परिवर्तित होता है और इसका योग होता है

टिप्पणी।

पंक्तियों पर क्रियाओं के नियम हमेशा परिमित राशियों के लिए नियमों के साथ मेल नहीं खाते हैं। विशेष रूप से, परिमित राशि में, आप मनमाने ढंग से शब्दों के क्रम को बदल सकते हैं, अपनी पसंद के अनुसार शब्दों को समूहित कर सकते हैं, इससे राशि नहीं बदलेगी। अंतिम राशि की शर्तों को रिवर्स ऑर्डर में जोड़ा जा सकता है, एक श्रृंखला के लिए ऐसी कोई संभावना नहीं है, क्योंकि इसमें अंतिम शब्द नहीं है।

एक श्रृंखला में समूह के सदस्यों के लिए हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, श्रृंखला

तब से अलग है

और इसकी आंशिक मात्रा की कोई सीमा नहीं है। समूह के सदस्यों के बाद

हमें एक अभिसरण श्रृंखला मिलती है, इसका योग शून्य के बराबर है। सदस्यों के एक अलग समूह के साथ

हमें एक अभिसरण श्रृंखला मिलती है, जिसका योग एक के बराबर है।

हम बिना प्रमाण के दो प्रमेय प्रस्तुत करते हैं।

प्रमेय 1.14।

एक पूरी तरह से अभिसरण श्रृंखला की शर्तों का क्रमांकन इसके अभिसरण का उल्लंघन नहीं करता है, श्रृंखला का योग समान रहता है।

प्रमेय 1.15।

यदि श्रृंखला पूरी तरह से नहीं मिलती है, तो अपने सदस्यों के समुचित पुनर्व्यवस्था द्वारा श्रृंखला के योग को एक मनमाना मूल्य देना और यहां तक \u200b\u200bकि श्रृंखला को भिन्न बनाना संभव है।